Pieni piiri pyörii

Vaihe 1: Todistetaan, että jos suorakulmaisilla kolmioilla on sama pinta-ala, niin pienin piiri on tasakylkisellä suorakulmaisella kolmiolla. Tämä vaatii hieman ruumiillsta työtä (menee ehkä parhaiten Lagrange-funktiolla).

Vaihe2: Olkoon neliön sivun pituus c. Jos tasakylkisellä suorakulmaisella kolmiolla on sama ala c^2, niin kolmion kateettien pituudet ovat c*sqrt(2) ja hypotenuusa 2c. Kolmion piiri on 2*(1 sqrt(2))c > neliön piiri 4c.

Todistan, että a b sqrt(a^2 b^2) > 4 c kun 1/2 a b = c^2 eli c = sqrt(ab/2)

1/2 (a b) >= sqrt(ab) (keskiarvoepäyhtälö). 1/2(a^2 b^2) >= sqrt(a^2 b^2) = ab.

a b sqrt(a^2 b^2) >= 2 sqrt(ab) sqrt(2 ab) = (2 sqrt(2)) sqrt(ab) > 2 sqrt(2) sqrt( ab) = 4 c. mot.

Ohman

Riittääkö sanalliseksi perusteluksi se, että säännöllinen monitahokas, kuten neliö, on lähempänä ympyrämuotoa kuin mikään kolmio?

Selvästi helpoin todistus: (Kateetit a ja b, hypotenuusa c. Neliön sivu d)

Kolmion piiri on a b c ja sen neliö on 2c^2 2ab 2bc 2ca. Neliön piirin neliö on 16d^2. Näiden puolikkaat ovat c^2 ab bc ca ja 8d^2. Lisäksi 0.5ab=d^2.

Helpolla alaspäin arvioinnilla todetaan, että kolmion piiri on suurempi.

c^2 ab bc ca> c^2 ab ab ab=c^2 6d^2=a^2 b^2 6d^2=(a-b)^2 2ab 6d^2=(a-b)^2 10d^2>10d^2>8d^2

Neliön piiri on aina pidempi.
Jos voit oikaista mistä voit, piiri pienenee lopulta olemattomiin ja olet kohta siinä mistä aloititkin.

Edellä nimim.laskee kysyy:
"Riittääkö sanalliseksi perusteluksi se, että säännöllinen monitahokas, kuten neliö, on lähempänä ympyrämuotoa kuin mikään kolmio? "

Niin, miten lienee? Onko tuo jotenkin ns.kulttuuri- tai viitekehyskysymys, ts.riippuu missä kohtaa kurssia ollaan menossa.
Yleensä ei tarvinne jonkin yksittäisen todistuksen yhteydessä käydä läpi koko aikaisempaa teoriaa (tässä tasogeometria), mitä oppikirjoissa tai kurssimatskuissa edellä on esitetty. Eli toisaalta on tavallaan itsestäänselvyys, että ympyrämuodolla on lyhin piiri suhteessa pinta-alaan kuin millään monikulmiolla ja järjestys on se, että mitä 'monikulmiompi', sitä lähempänä ympyrää ollaan. (Tätä monikulmiokonstruktiota lienee aiemmin käytetty alkeisgeometrian kursseissa myös piin arvon perusteluun, mikä ei ole kuitenkaan ns.oikeaoppinen matemaattinen todistus.)

Tottahan 'itsestäänselvyyksiäkin' matematiikassa todistetaan, etenkin jos siitä tehdään harjoitustehtävä, ja edellä on sitten muutamanlaisia virityksiä tästä aiheesta ;)

"Eli toisaalta on tavallaan itsestäänselvyys, että ympyrämuodolla on lyhin piiri suhteessa pinta-alaan kuin millään monikulmiolla ja järjestys on se, että mitä 'monikulmiompi', sitä lähempänä ympyrää ollaan."

Ei tuo suorastaan itsestäänselvyys ole sillä esim. ympyrän sisään piirretyllä säännöllisellä monikulmiolla on ala pienempi mutta myös piiri pienempi. Kun asiaa tarkemmin tarkastelee, huomaa että monikulmiolla on alan ja piirin suhde
(r/2)*cos(pii/n), kun se on ympyrällä r/2, eli tuota kautta väittämä osoittautuu oikeaksi.

Jos piirretään ne kuviot paperille siten, että neliön yksi sivu a on suorakulmaisen kolmion lyhyempi kateetti, niin kolmion pitempi kateetti on oltava 2a, jotta alojen yhtäsuuruusvaatimus pätee.
Kolmion piiriksi tulee silloin: a 2a sqrt(5)a= a(3 sqrt(5))
Neliön piiri on : 4a
Koska sqrt(5) > 1, niin kolmion piiri on pitempi.

Tässä helpoin ratkaisu mitä itse löysin.

1) Osoitetaan ensin, että suorakulmaisista kolmioista tasakylkisellä kolmiolla on lyhin piiri:

Olkoon kolmion hypotenuusa c ja eräs terävä kulma x, jolloin kaksi muuta sivua ovat c*sinx ja c*cosx.

Kolmion piiri on tällöin:

p = c c*sinx c*cosx = c( 1 sinx cosx)

Piirin lauseke on tällöin pienin, kun 1 sinx cosx on pienin, joten siirrytään tutkimaan tuota lauseketta dervoimalla se, ja ratkaistaan derivaatan nollakohdat.

D(1 sinx cosx) = cosx - sinx = 0,

josta saadaan, että x = 45°.

Täten suorakulmion kulmat ovat 90°, 45° ja 45°, joten se on tasakylkinen.

2) Olkoon neliön sivu a, jolloin sen pinta-ala on a^2 ja piiri 4a. Olkoon suorakulmaisen tasakylkisen kolmion kanta ja korkeus b, jolloin sen ala on 1/2(b^2).

Kerran pinta-alojen täytyy olla yhtä suuret, saadaan yhtälö:

1/2(b^2) = a^2, josta ratkaisemalla b saadaan

b = sqrt(2)*a

Kolmion hypotenuusa b:n avulla ilmoitettuna saadaan pythagoraan lauseesta, josta saadaan

c = 2a

Kolmion piiri on tällöin 2*sqrt(2)*a 2a, joka on selvästi suurempi kuin 4a, koska sqrt(2) > 1.

Tästä sivulta on poistettu järki sääntöjen vastaisena.