Suorakulmaisella kolmiolla ja neliöllä on sama pinta-ala. Kumman piiri on pidempi? Miten perustelet( ei yksittäisillä luvuilla)
Pieni piiri pyörii
mavajansind
18446
0Äänestä
Muut lukivat myös
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastainen viesti.
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 18
Vanhimmat
Vaihe 1: Todistetaan, että jos suorakulmaisilla kolmioilla on sama pinta-ala, niin pienin piiri on tasakylkisellä suorakulmaisella kolmiolla. Tämä vaatii hieman ruumiillsta työtä (menee ehkä parhaiten Lagrange-funktiolla).
Vaihe2: Olkoon neliön sivun pituus c. Jos tasakylkisellä suorakulmaisella kolmiolla on sama ala c^2, niin kolmion kateettien pituudet ovat c*sqrt(2) ja hypotenuusa 2c. Kolmion piiri on 2*(1 sqrt(2))c > neliön piiri 4c.
Vaihe 1 menee helpoimmin trigonometrialla.
Olkoon suorakulmaisen kolmion hypotenuusa c ja toinen terävä kulma K. Kolmion ala on A.
Silloin kolmion piiri on c(1 sinK cosK) ja ala (c^2 * sinK * cosK) / 2 = A,
mistä saadaan, että 2*sinK * cosK = 4A/c^2
Piirin neliö on
c^2 * ( 1 2(sinK cosK) (sinK cosK)^2)).
Tässä (sinK cosK)^2 = (sinK)^2 (cosK)^2 2 * sinK * cosK = 1 4A/c^2.
Näin piirin neliö = c^2 * (2 4A/c^2 2(sinK cosK)).
sin K cos K saa minimiarvon, kun derivaatta cosK - sinK = 0, eli sinK = cosK,
joten K = 45 astetta.
Pieleen meni. Kun muodostetaan lausekkeen sinK cosK toinen derivaatta on
-sinK -cosK joka on negatiivinen. 45 asteen kulmalla on siis maksimi. Missä vika?'
c^2*(sinK cosK) pitää minimoidan sillä lisäoletuksella, että sin(2K) = 4A/c^2.
Vaikka Ohman onkin esittikin alla nerokkaan ratkaisun ongelmall,e kokeilen Lagrange-funktion käyttöä ratkaistaessa tehtävää.
Olkoot suorakulmaisen kolmion kateetit a ja b. Silloin on siis määrättävä
min (a b sqrt(a^2 b^2)), kun ab/2 = A.
Lagrange-funktio on
(a b sqrt(a^2 b^2) L * (2A - ab), (L on Lagrangen kertoja)
Derivoidaan a ja b suhteen ja asetetaan ne nolliksi
1 a / sqrt(a^2 b^2) - Lb = 0
1 b / sqrt(a^2 b^2) - La = 0
Näistä saadaan
L = (1 a / sqrt(a^2 b^2)) / b = (1 b / sqrt(a^2 b^2)) / a
Yhtälö on voimassa, kun a = b.
Todistan, että a b sqrt(a^2 b^2) > 4 c kun 1/2 a b = c^2 eli c = sqrt(ab/2)
1/2 (a b) >= sqrt(ab) (keskiarvoepäyhtälö). 1/2(a^2 b^2) >= sqrt(a^2 b^2) = ab.
a b sqrt(a^2 b^2) >= 2 sqrt(ab) sqrt(2 ab) = (2 sqrt(2)) sqrt(ab) > 2 sqrt(2) sqrt( ab) = 4 c. mot.
Ohman
Riittääkö sanalliseksi perusteluksi se, että säännöllinen monitahokas, kuten neliö, on lähempänä ympyrämuotoa kuin mikään kolmio?
Selvästi helpoin todistus: (Kateetit a ja b, hypotenuusa c. Neliön sivu d)
Kolmion piiri on a b c ja sen neliö on 2c^2 2ab 2bc 2ca. Neliön piirin neliö on 16d^2. Näiden puolikkaat ovat c^2 ab bc ca ja 8d^2. Lisäksi 0.5ab=d^2.
Helpolla alaspäin arvioinnilla todetaan, että kolmion piiri on suurempi.
c^2 ab bc ca> c^2 ab ab ab=c^2 6d^2=a^2 b^2 6d^2=(a-b)^2 2ab 6d^2=(a-b)^2 10d^2>10d^2>8d^2
Neliön piiri on aina pidempi.
Jos voit oikaista mistä voit, piiri pienenee lopulta olemattomiin ja olet kohta siinä mistä aloititkin.
Edellä nimim.laskee kysyy:
"Riittääkö sanalliseksi perusteluksi se, että säännöllinen monitahokas, kuten neliö, on lähempänä ympyrämuotoa kuin mikään kolmio? "
Niin, miten lienee? Onko tuo jotenkin ns.kulttuuri- tai viitekehyskysymys, ts.riippuu missä kohtaa kurssia ollaan menossa.
Yleensä ei tarvinne jonkin yksittäisen todistuksen yhteydessä käydä läpi koko aikaisempaa teoriaa (tässä tasogeometria), mitä oppikirjoissa tai kurssimatskuissa edellä on esitetty. Eli toisaalta on tavallaan itsestäänselvyys, että ympyrämuodolla on lyhin piiri suhteessa pinta-alaan kuin millään monikulmiolla ja järjestys on se, että mitä 'monikulmiompi', sitä lähempänä ympyrää ollaan. (Tätä monikulmiokonstruktiota lienee aiemmin käytetty alkeisgeometrian kursseissa myös piin arvon perusteluun, mikä ei ole kuitenkaan ns.oikeaoppinen matemaattinen todistus.)
Tottahan 'itsestäänselvyyksiäkin' matematiikassa todistetaan, etenkin jos siitä tehdään harjoitustehtävä, ja edellä on sitten muutamanlaisia virityksiä tästä aiheesta ;)
"..piin arvon.." Tarkoitus oli sanoa
lähinnä: ympyrän pinta-alan perusteluun...
"Eli toisaalta on tavallaan itsestäänselvyys, että ympyrämuodolla on lyhin piiri suhteessa pinta-alaan kuin millään monikulmiolla ja järjestys on se, että mitä 'monikulmiompi', sitä lähempänä ympyrää ollaan."
Ei tuo suorastaan itsestäänselvyys ole sillä esim. ympyrän sisään piirretyllä säännöllisellä monikulmiolla on ala pienempi mutta myös piiri pienempi. Kun asiaa tarkemmin tarkastelee, huomaa että monikulmiolla on alan ja piirin suhde
(r/2)*cos(pii/n), kun se on ympyrällä r/2, eli tuota kautta väittämä osoittautuu oikeaksi.
Tässä on kaksi suuntaa: jos 'kehän' pituus on kiinnitetty, monikulmion pinta-ala maksimoituu ympyrämuodossa, ja jos pinta-ala on ennalta kiinnitetty, piiri minimoituu ympyränä; alkup.tehtävässä on kyse jälkimmäisestä. Sattuu vielä niin, että kuvioiden kärkipisteiden kautta voidaan piirtää ympyrä.
Aprikoin vaan kommentissani sitä, että riittäisikö monesti jokin silmämääräiseen havaintoon tai muutoin likimääräinen perustelu (kuten esim.ympyrän pinta-alan monikulmiojohdattelu peruskoulujutuissa näyttää riittävän);
tietenkin oikea matemaattinen todistus on sitten se pätevä.
Jos piirretään ne kuviot paperille siten, että neliön yksi sivu a on suorakulmaisen kolmion lyhyempi kateetti, niin kolmion pitempi kateetti on oltava 2a, jotta alojen yhtäsuuruusvaatimus pätee.
Kolmion piiriksi tulee silloin: a 2a sqrt(5)a= a(3 sqrt(5))
Neliön piiri on : 4a
Koska sqrt(5) > 1, niin kolmion piiri on pitempi.
Tässä helpoin ratkaisu mitä itse löysin.
1) Osoitetaan ensin, että suorakulmaisista kolmioista tasakylkisellä kolmiolla on lyhin piiri:
Olkoon kolmion hypotenuusa c ja eräs terävä kulma x, jolloin kaksi muuta sivua ovat c*sinx ja c*cosx.
Kolmion piiri on tällöin:
p = c c*sinx c*cosx = c( 1 sinx cosx)
Piirin lauseke on tällöin pienin, kun 1 sinx cosx on pienin, joten siirrytään tutkimaan tuota lauseketta dervoimalla se, ja ratkaistaan derivaatan nollakohdat.
D(1 sinx cosx) = cosx - sinx = 0,
josta saadaan, että x = 45°.
Täten suorakulmion kulmat ovat 90°, 45° ja 45°, joten se on tasakylkinen.
2) Olkoon neliön sivu a, jolloin sen pinta-ala on a^2 ja piiri 4a. Olkoon suorakulmaisen tasakylkisen kolmion kanta ja korkeus b, jolloin sen ala on 1/2(b^2).
Kerran pinta-alojen täytyy olla yhtä suuret, saadaan yhtälö:
1/2(b^2) = a^2, josta ratkaisemalla b saadaan
b = sqrt(2)*a
Kolmion hypotenuusa b:n avulla ilmoitettuna saadaan pythagoraan lauseesta, josta saadaan
c = 2a
Kolmion piiri on tällöin 2*sqrt(2)*a 2a, joka on selvästi suurempi kuin 4a, koska sqrt(2) > 1.
Jotenkin mutulla tasakylkisellä kolmiolla olisi pisin piiri, eikä lyhin.
Nimittäin geometrian peruslauseen mukaan puoliympyrän sisältämä kehäkulma on suorakulma, ja siinä kun se toinen kulma pienenee, niin piiri lähestyy 4R , kun taas tasakylkisellä piiri on R(2 2sqrt(2))
Lisämutulla havaitsee, että kaksikulmiolla on pisin piiri alaansa nähden, koska kuvion ala on nolla.
Tasakylkisellä suorakulmaisella kolmiolla on isoin pinta-ala suorakulmmaisista kolmioista, kun piiri on annettu.
Perustelu 1:
Kolmion ala on xy, jossa x y=vakio. Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön nojalla xy <=(x y)^2/4=vakio. Yhtäsuuruus pätee vain, kun x=y.
Tästä sivulta on poistettu järki sääntöjen vastaisena.
näin on