Jos esimerkiksi origoon toisesta päästään kiinnitetty äärettömän lyhyt jana pyörii äärettömällä kulmanopeudella, niin mikä on silloin janan toisen pään kehänopeus?
Sitä laskettaessahan joudutaan kertomaan ääretön melkein nollalla. Voisiko sen melkein nollan ilmaista 1/ääretön?
Sitä laskettaessahan joudutaan kertomaan ääretön melkein nollalla. Voisiko sen melkein nollan ilmaista 1/ääretön?
Vastaukset 5
Vanhimmat
Ääretön kerrottuna millä tahansa nollasta poikkeavalla on edelleen ääretön. Näin laskusääntöjen mukaan, ja ainakin omasta mielestäni matematiikan ääriarvojen tarkastelun tulkinta on vahva todistus siitä, ettei todellisessa luonnossa voi olla mitään sen enempää ikuista kuin ääretöntäkään.
Ok, niin vähän epäilinkin. Eli ääretön jaettuna äärettömälläkin on ilmeisesti sitten ääretön, eikä noin yksi.
Miten sen ottaa. Nollakin jaettuna itsellään on yleisen määritelmän mukaan (tasan) yksi, mutta tuotakaan ei voi aina soveltaa, vaan luokitellaan määrittelemättömäksi.
Ääretön jaettuna äärettömällä on siis yleisesti ottaen yksi, jossa on sekä järkeä että ei yhtään. Määritelmän mukaan äärettömät ovat kaikki tasan saman kokoisia, mikä sekin on järjetöntä.
Ehkä tuollaisia ei pitäisi pohtia niin paljon. Jos ollenkaan.
Jos oletat kulmanopeudelle 1/a-riippuvuuden, missä a on janan pituus, silloin kehänopeus pysyy äärellisenä, vaikka kulmanopeus kasvaa äärettömäksi janan lyhentyessä kohti nollaa.
Nämä äärettömällä tapahtuvat laskutoimitukset riippuvat usein käyttötarkoituksesta.
Toisin kuin koulumatematiikassa vieläkin ilmeisesti sanotaan, ettei äärettömällä voi kertoa vaan täytyy käsitellä raja-arvoja, niin oikeasti tuohon ei tarvitse rajoittua.
Esim:
https://fi.wikipedia.org/wiki/Laajennettu_reaalilukujoukko
Kuten tuossa mainitaan esim ∞/∞ ei ole yleisesti määritelty. Kuitenkin voi tulla tilanteita jossa on ns. erisuuruisia äärettömiä.
Ääretönhän on yleisesti vain luku, jolle a<∞ kaikille a∈A.
Voidaan vaikka määritellä joukosta A={a,b,c,d} joukko B={∞a,∞b,∞c,∞d}, joille a<b<c<d<∞a<∞b<∞c<∞d.
x*∞=∞x kaikille x∈A, ∞x∈B.
Jolloin siis vaikka (a*∞)/(b*∞) = a/b eli "ääretön jaettuna äärettömällä" voidaan määritellä.
Ei mitään sen ihmeellisempää.
Puhut myös "äärettömän pienistä luvuista", joita ei reaaliluvuissa ole. Tällaiset voidaan määritellä reaalilukujoukkoa laajentamalla. Esimerkiksi hyperreaalilukujen joukko on tällainen: https://fi.wikipedia.org/wiki/Hyperreaaliluku