Fyssan proffa opetti luennon päätteksi ristitulon laskennan, ja lopputulema oli tällainen:
A x B = (AyBz - AzBy)i (AxBz - AzBx)j (AxBy - AyBx)k
Netistä kuitenkin löysin ohjeen missä oli merkitty miinus i:n ja j:n väliin. Onko proffa ollut ajatuksissaan tätä kirjoittaessaan vai onko netin ohje väärin?
A x B = (AyBz - AzBy)i (AxBz - AzBx)j (AxBy - AyBx)k
Netistä kuitenkin löysin ohjeen missä oli merkitty miinus i:n ja j:n väliin. Onko proffa ollut ajatuksissaan tätä kirjoittaessaan vai onko netin ohje väärin?
Vastaukset 17
Vanhimmat
on ollut ajatuksissaan tai olet kopioinut väärin
Lukujen 123 parilliset permutaatiot ovat 123, 231 ja 312 ja parittomat ovat 213, 321 ja 132.
Ajattele, että i = 1, j= 2 ja k = 3. Tai voisit kirjoittaa i = e(1), j=e(2),k=e(3).
Jos A = a(1)e(1) a(2)e(2) a(3) e(3) ja B = b(1) e(1) b(2) e(2) b(3)e(3) niin
A x B = e(1) (a(2) b(3) - a(3) b(2)) e(2) (a(3) b(1) - a(1) b(3)) e(3) (a(1) b(2) - a(2) b(1))
Kun vähän aikaa katselet tuota huomaat että siinä A:n ja B:n komponentit ovat aina siten että A:n komponentti on ensin ja B:n komponentti sitten.Lukujen 123 parilliset permutaatiot ovat positiivisia ja parittomat negatiivisia.
Tuo äskeinen voidaan tietysti kirjoittaa myös
AxB = (a(2)b(3) - a(3)b(2)) e(1) (a(3)b(1) - a(1)b(3)) e(2) (a(1)b(2) - a(2)b(1)) e(3) jolloin taas parilliset permutaatiot 231,312 ja 123 ovat positiiviset ja parittomat permutaatiot 321,132 ja 213 ovat negatiivisia.
Joskus tuon ristitulon laskeminen esitetään sen determinantin arvon laskemisena jonka determinantin vaakarivit ovat (e(1) (= i), e(2) (=j) ,e(3) (=k)) , (a(1) a(2) a(3)) ja
(b(1),b(2),b(3)).Mutta kun sisäistää itselleen tuon ensin kertomani permutaatiojutun niin sen avulla laskeminen on ainakin minun mielestäni helpompaa ja nopeampaa, sen kun kirjoittelee.
Ohman
Otetaan vielä näin. Vektorien B ja C ristitulo on
B x C = b(2) c(3) i b(3) c(1) j b(1) c(2) k - b(3) c(2) i - b(1) c(3) j - b(2) c(1) k josta yhdistelemällä saadaan lopputulos. Tässä siis olivat parilliset permutaatiot 231,312 ja 123 positiivisia ja parittomat 321,132 ja 213 negatiivisia.
Olkoon A:n ja B:n pistetulo (A,B). Skalaarikolmitulo on silloin (A, B x C) =
(a(1) i a(2) j a(3) k, Bx C) = a(1) (i, B x C) a(2) (j, B x C) a(3) (k , B x C) =
a(1)b(2)c(3) - a(1) b(3)c(2) a(2)b(3)c(1) - a(2)b(1)c(3) a(3)b(1)c(2) - a(3)b(2)c(1).
Tämä on sen determinantin arvo jonka 1. vaakarivin muodostavat vektorin A komponentit, 2. vaakarivin muodostavat B:n komponentit ja 3. vaakarivin muodostavat C:n komponentit.
Jollekin saattaa olla helpompaa laskea vektoritulo ja skalaarikolmitulo determinantteja käyttäen mutta kun tuon permutaatioajattelun sisäistää niin huomaa että nuo determinantiot kasketaan juuri niin kuin yllä olen esittänyt.
Tietenkin myös vektorikolmitulo Ax(BxC) = (A,C) B - (A,B) C on suoraan laskettavissa näillä säännöillä.
Ohman
^ kiitos vaivannäöstä!
A x B = e(1) (a(2) b(3) - a(3) b(2)) e(2) (a(3) b(1) - a(1) b(3)) e(3) (a(1) b(2) - a(2) b(1))
Tämähän on sama kuin tämä:
A x B = (AyBz - AzBy)i (AxBz - AzBx)j (AxBy - AyBx)k
eli väärin.
Itse lasket väärin. j komponetti on Az Bx - Ax Bz. Kopioihan nyt kaavani edes oikein.
Ohman
Nuo vektoritulon ja skalaarikolmitulon kaavat voi tietysti ilmaista hyvin lyhyesti.
Määritellään permutaatiosymboli
p(r,s,t) = 1 kun (rst) on jonon (123) parillinen permutaatio, -1 kun (rst) on jonon (123) pariton permutaatio ja 0 muulloin.
Tällöin A x B = Summa (1 <= r <= 3, 1 <= s <= 3, 1 <=t <= 3) p(r,s,t) a(r) b(s) e(t) ja jos vielä käytetään Einsteinin yhteenlaskutapaa voidaan tuo merkitä
A x B = p(r,s,t) a(r) b(s) e(t). Monasti kirjallisuudessa käytetään permutaatiosymbolia merkitsemään kirjainta "epsilon". Einsteinin summauksessa käytetään monasti ylä- ja alaindeksejä mutta kirjoitustaitoni ei siihen riittänyt.
Vastaavasti (A,B x C) = p(r,s,t) a(r) b(s) c(t) (Einsteinin summaus). Tämä on tietenkin
se laskukaava millä lasketaan sen determinantin arvo jonka vaakarivit ovat A:n komponentit, B:n komponentit ja C:n komponentit.
Kirjoittelin vain aiemmissa kommenteissani tuon kaavan "auki" jotta asia olisi aloittelijoillekin helpommin ymmärrettävissä.
Ohman
en ole aloittelija, mutta en silti ymmärrä nuita sinun permutaatioitasi
En nyt tiedä, miten selittäisin, kun en ymmärrä mistä kiikastaa.
Parilliset permutaatiot ovat 123,231 ja 312. Parittomat ovat 213,132 ja 321. Parillinen permutaatio on sellainen, johon rarvitaan parillinen määrä vaihtoja kahden peräkkäisen luvun välillä, parittomassa taas vaihtoja on pariton määrä.
123 ->213_> 231, tarvittiin 2 vaihtoa, 231 on siis parillinen permutaatio. 123->132 yhdellä vaihdolla ja 132 on siis pariton permutaatio.
Kun lasketaaan esim. vektorien A,B ja C skalaarikolmitulo niin pidetään komponentit järjestyksessä abc mutta niiden indekseissä tehdään nuo permutaatiot, esim.
a(1)b(2)c(3) -> a(2)b(3)c(1). Parilliset otetaan positiivisina ja parittomat negatiivisina ja kaikki kuusi lasketaan yhteen.Tämä on myös mainitsemani determinantin arvo ja joskushan tuo kolmitulo lasketaan kirjoittamalla ensin se determinantti ja sitten laskemalla sen arvo.Kun mieltää nämä permutaatiot voi tuloksen kirjoittaa suoraan.
Ja tuon permutaatiosympolin ja Einsteinin summauksen avulla kaava voidaan kirjoittaa hyvin lyhyesti kuten jo näytin.
Joten mikä tässä on vaikeaa?
Ohman
Esitit asiasi aivan liian vaikeasti. Rupesit selittelemään kesken asian.
Kirjoitin asiasta 4 kommenttia ( yhden korjauksen erään nimimerkin juttuun).
1. kommentissa selostin vektoritulon laskemista aloittajalle joka ilmeisesti kiittikin.
2. kommentissa lisäsin että tuo kolmitulokin saadaan samalla menetelmällä.
3. kommentissa kerroin miten samat asiat voidaan esittää lyhyesti permutaatiosymbolin avulla.
4. kommentissa yritin vastata nimimerkille "martta00".
Missähän näistä neljästä "selittelin kesken asian"? Ja mikä oli vaikeaa?
Olen ollut huomaavinani että nimimerkki.toinen on aika kärkäs kommentoimaan (asiattomasti) toisten kirjoituksia, etenkin minun kirjoituksiani. Ihan sama, kirjoittele vaan!
Ohman
Minä huomasin, että olet kertonut paljonkin. Ja selittänyt jälleen runsaasti.
Minä ymmärsin. Osasin dekoodata tarinasi.
martta00 ei tainnut olla samalla tasolla.
Edelliset sepustukset kaikkinensa vaikuttavat hieman vaikeaselkoisilta.
Hyvä peukalosääntö hommaan on:
i j k i j
a b c a b
d e f d e
eka ja toka sarake tuplattu, vedetään vinoviivat kustakin i,j ja k:sta lävistäjäsuuntaan (oikealle alas, ) ja toiset viivat niitä ristiin
(vasemmalle alas,-), kerrotaan kullakin viivalla olevat luvut keskenään
ja varustetaan termit asiaankuuluvalla etumerkillä tai -
(1.rivin kapeat kirjasimet eivät konefontissa välttämättä osu ihan kohilleen?)
Saadaan
(bf-ce)i (cd-af)j (ae-bd)k
mikä aloittajan merkinnöillä on:
(AyBz - AzBy)i (AzBx - AxBz)j (AxBy - AyBx)k
eli sama kuin:
(AyBz - AzBy)i - (AxBz - AzBx)j (AxBy - AyBx)k
Siis aloittajan lausekkeessa
(AyBz - AzBy)i (AxBz - AzBx)j (AxBy - AyBx)k
on merkkivirhe.
Ps. arvelen, että nimim.Ohman'in selostus on irrallisia katkelmia matriisiteorioista yhteyksistä, kun aikanaan on sorvattu, mitenkähän yleisen nxn-determinantin arvon saisi 'teoriapuhtaasti' laskettua (ja mistä konkarivastaaja martta00:kaan saanut hevillä tolkkua ;)
Myönnytystä Ohmanille siinä, että noissa (ikävissä ja kömpelöissä?) teorioissahan ne useimmat peukalo-/muistisääntöjenkin alkujuuret ovat...
tsemppiä opiskelijoille ;)
Olen sitä mieltä, että henkilön, joka ei osaa permutoida lukujonoa 123 päässään ja ottaa positiivisina ne termit, joiden indeksit ovat parillisia permutaatioita ja negatiivisina ne termit joiden indeksi on pariton permutaatio, ei ehkä kannattaisi harrastaa matematiikkaa vaan suunnata kiinnostuksensa johonkin muun.
Ja toden totta: p(r,s,t) a(r) b(s) c(t) (Einsteinin summaus) on juuri sen determinantin arvo jonka vaakarivit ovat A:n, B:n ja C:n komponentit.Näin saadaan laskettua skalaarikolmitulo.Miksiköhän tätä ei saisi sanoa?
Ja kun tavallinen tapa laskea ristitulo on käyttää muistiapuna "determinanttia" jossa 1. vaakarivi on (i,j,k) niin tuo ristitulo voidaan laskea samalla determinantin arvon laskusäännöllä.
Yritin auttaa aloittajaa ja kun hänelle ilmeisesti ristitulon lasku ei ollut selvä niin kerroin mielestäni nokkelan konstin jolla laskun saa tehtyä kirjoittelematta näkyviin mitään determinantteja.Aloittaja kiittikin vaivannäöstä.
Mutta eräiden muiden nimimerkkien taholta juttu on saanut lievästi sanottuna merkillisen vastaanoton.
Ohman
Korjataan nyt vielä sanonta ennenkuin joku vääräleuka iskee tähänkin.
p.o. ...ja negatiivisina ne termit joiden indeksit ovat parittomia permutaatioita...
Ohman
Näyttää siltä, että nuo "kriitikot" eivät tosiaan ole ymmärtäneet miten nokkelan laskutavan esitit. Tai sitten kyseessä on muita motiiveja.
Kas, kuis niin kuivakkaan kälpeä urheilulaji kuin vektorimatikka voi herättää tunteitakin...
No--, kaikin mokomin, positiivista kaiketi, sanoisin ;)
Laitetaanpa siksi ja illan ratoksi noiden edellisten "karvahattu vs cylinderihattu" -mallien väliin - ja kenties poliittisen jännitteisyydenkin lieventämiseksi - vielä pari muuta ihan mukiinmenevää vaihtehtoistodellisuutta mukailevaa linkkiä. Eka on lukion Calculus-kirjan kurssia MAA5:
https://www.youtube.com/watch?v=cLTR0ZT2OsE
Toisen linkin
https://www.theseus.fi/bitstream/handle/10024/115069/2016_C_2_SAMK_Geometria_Ojalain_laskuopit.pdf?sequence=1
kappaleessa 18.5 pykätään vähän siltaa määritelmän ja käytännön laskutavan välille (jos haluaa tietää perusteet). Eli käytännössä lasku on, että laitetaan vektorikoordinaatit laskimeen tai vastaavaan härpäkkeeseen ja painetaan crossP-nappulaa. Toki koulussa kuuluu laskeskella niitä näitä käsinkin, jotta tulisi asioihin tuntumaa.