"Gabrielin torvi"

Jos osaat laskea tuon pyörähdyskappaleen tilavuuden ja pinta-alan integraalin avulla niin vastaus on siinä. Integroi Pi * y^2 dx (y=1/x)ykkösestä äärettömään, ja toisaalta 2*Pi*y dx.

Aattele kirjoitti:

Jos osaat laskea tuon pyörähdyskappaleen tilavuuden ja pinta-alan integraalin avulla niin vastaus on siinä. Integroi Pi * y^2 dx (y=1/x)ykkösestä äärettömään, ja toisaalta 2*Pi*y dx.

Lue lisää

"Integroi Pi * y^2 dx (y=1/x)ykkösestä äärettömään, ja toisaalta 2*Pi*y dx."

Eikös pyörähdyskappaleen pinta-ala saada pikemminkin kaavasta
A = \int_{a}^{b} 2pi * f(x) * sqrt( 1 (f'(x))^2 ) dx

Differentiaalisen osan (pituus ds) pinta-ala on kyllä 2*pi*y*ds, mutta ds != dx, vaan ds = sqrt(1 (y')^2).

No, eihän tämä tilannetta sikäli muuta, että eihän tuo esittämäsi \int (2 pi y dx) myöskään suppene ääretöntä kohti. Tästä 'oikeasta' kaavasta vaan saadaan paljon hankalampi lauseke, minkä konvergoimattomuus on paljon haastavampaa nähdä suoraan.

Strawman kirjoitti:

"Integroi Pi * y^2 dx (y=1/x)ykkösestä äärettömään, ja toisaalta 2*Pi*y dx."

Eikös pyörähdyskappaleen pinta-ala saada pikemminkin kaavasta
A = \int_{a}^{b} 2pi * f(x) * sqrt( 1 (f'(x))^2 ) dx

Differentiaalisen osan (pituus ds) pinta-ala on kyllä 2*pi*y*ds, mutta ds != dx, vaan ds = sqrt(1 (y')^2).

No, eihän tämä tilannetta sikäli muuta, että eihän tuo esittämäsi \int (2 pi y dx) myöskään suppene ääretöntä kohti. Tästä 'oikeasta' kaavasta vaan saadaan paljon hankalampi lauseke, minkä konvergoimattomuus on paljon haastavampaa nähdä suoraan.

Lue lisää

integrointi sun muut eivät ole sujuneet moneen vuoteen, mutta miten selitätte seuraavan: tieteen kuvalehdessä gabrielin torvea kuvailtiin siten että se on mahdollista täyttää äärellisellä määrällä maalia, mutta sen pinnan maalaaminen olisi mahdotonta sen äärettömyyden takia.

kappaleen ulkopinta-ala kuitenkin on yhtä suuri kuin sen sisäpinta-ala... miten sisäpinnan maalaaminen eroaa tötterön täyttämisestä ; )

onko maalivertaus kehno vai missä mättää?

-juri

-juri kirjoitti:

integrointi sun muut eivät ole sujuneet moneen vuoteen, mutta miten selitätte seuraavan: tieteen kuvalehdessä gabrielin torvea kuvailtiin siten että se on mahdollista täyttää äärellisellä määrällä maalia, mutta sen pinnan maalaaminen olisi mahdotonta sen äärettömyyden takia.

kappaleen ulkopinta-ala kuitenkin on yhtä suuri kuin sen sisäpinta-ala... miten sisäpinnan maalaaminen eroaa tötterön täyttämisestä ; )

onko maalivertaus kehno vai missä mättää?

-juri

Lue lisää

Kyse on siis siitä, että kappaleen 3-ulotteinen Lebesguen mitta voi olla äärellinen vaikka 2-ulotteinen Lebesquen mitta ei olisi. Syynä on se (intuitiotasolla) että kolmiulotteiset peitteet peittävät kappaletta eri tavalla kuin kaksiulotteiset. Tilanne on vastaavantyyppinen kuin fraktaaleissa, jossa reunan pituus on ääretön mutta pinta-ala äärellinen.

-juri kirjoitti:

integrointi sun muut eivät ole sujuneet moneen vuoteen, mutta miten selitätte seuraavan: tieteen kuvalehdessä gabrielin torvea kuvailtiin siten että se on mahdollista täyttää äärellisellä määrällä maalia, mutta sen pinnan maalaaminen olisi mahdotonta sen äärettömyyden takia.

kappaleen ulkopinta-ala kuitenkin on yhtä suuri kuin sen sisäpinta-ala... miten sisäpinnan maalaaminen eroaa tötterön täyttämisestä ; )

onko maalivertaus kehno vai missä mättää?

-juri

Lue lisää

Jos puhutaan maalaamisesta, niin silloin
ei voida pinta-alalla määrittää maalin määrää
vaan tilavuudella. Eli jos kysytään, että
kuinka suuri määrä riittäisi gabrielin torven ulkopuolen maalaamiseen , niin esimerkiksi Pii litraa (jos yksikkönä on litra) riittäisi:

muotoillaan maalipinta seuraavasti:

Käyrän y1=1/x kanssa samaan koordinaatistoon piirretään käyrä y2=(neliöjuuri(2))/x, maalipinta
on siis käyrien välissä.

nyt integroidaan maalipinnan tilavuus:

pii * int(y2^2 - y1^2)dx = pii * int(1/x)dx = Pii

mutta torven maalaamisen voi suorittaa myös pienemmälläkin määrällä, kun laittaa,että y2=a/x
ja integroi samalla tavalla äärettömyyteen niin saadaan tilavuudeksi:

V = Pii*(a^2 - 1), ja kun a lähestyy 1
niin V lähestyy nollaa.

eli vaikka pinta-ala on ääretön niin torvi saadaan maalatuksi ilman maalia. aika mieletöntä....

Mc Octobear kirjoitti:

Jos puhutaan maalaamisesta, niin silloin
ei voida pinta-alalla määrittää maalin määrää
vaan tilavuudella. Eli jos kysytään, että
kuinka suuri määrä riittäisi gabrielin torven ulkopuolen maalaamiseen , niin esimerkiksi Pii litraa (jos yksikkönä on litra) riittäisi:

muotoillaan maalipinta seuraavasti:

Käyrän y1=1/x kanssa samaan koordinaatistoon piirretään käyrä y2=(neliöjuuri(2))/x, maalipinta
on siis käyrien välissä.

nyt integroidaan maalipinnan tilavuus:

pii * int(y2^2 - y1^2)dx = pii * int(1/x)dx = Pii

mutta torven maalaamisen voi suorittaa myös pienemmälläkin määrällä, kun laittaa,että y2=a/x
ja integroi samalla tavalla äärettömyyteen niin saadaan tilavuudeksi:

V = Pii*(a^2 - 1), ja kun a lähestyy 1
niin V lähestyy nollaa.

eli vaikka pinta-ala on ääretön niin torvi saadaan maalatuksi ilman maalia. aika mieletöntä....

Lue lisää

"muotoillaan maalipinta seuraavasti:

Käyrän y1=1/x kanssa samaan koordinaatistoon piirretään käyrä y2=(neliöjuuri(2))/x, maalipinta
on siis käyrien välissä."

Höpö höpö, tuo mikään pinta ole.

Ethän sinä taloakaan maalaa siten, että talon päälle asetetaan jokin pikkuisen taloa suurempi muotti ja sitten muotin ja talon väliin jäävä alue täytetään maalilla.

Oikeastihan maalaus tapahtuu näin: Otetaan maalattava pinta S ja arvioidaan maalikerroksen paksuudeksi vaikka h. Voidaan tehdä karkea oletus, että maalikerros on kauttaaltaan yhtä paksu ja tasainen, jolloin maalikerroksen tilavuus on S*h. Oikeastihan tilavuus on enemmän kuin tuo, koska pinta on ympyrämäinen ja maalataan pinnan ulkopuolta. Jos maalataan sisäpuolta, on tilavuus vähän pienempi, mutta se ei muuta itse asiaa miksikään.

Ja koska tiedettiin, että pinta S on äärettömän suuri, on myös tilavuus S*h ääretön, kun h>0. Ts. maalia kuluu äärettömästi.

Strawman kirjoitti:

"Integroi Pi * y^2 dx (y=1/x)ykkösestä äärettömään, ja toisaalta 2*Pi*y dx."

Eikös pyörähdyskappaleen pinta-ala saada pikemminkin kaavasta
A = \int_{a}^{b} 2pi * f(x) * sqrt( 1 (f'(x))^2 ) dx

Differentiaalisen osan (pituus ds) pinta-ala on kyllä 2*pi*y*ds, mutta ds != dx, vaan ds = sqrt(1 (y')^2).

No, eihän tämä tilannetta sikäli muuta, että eihän tuo esittämäsi \int (2 pi y dx) myöskään suppene ääretöntä kohti. Tästä 'oikeasta' kaavasta vaan saadaan paljon hankalampi lauseke, minkä konvergoimattomuus on paljon haastavampaa nähdä suoraan.

Lue lisää

EN JOSTAKIN SYYSTÄ PYSTYNYT VASTAAMAAN TUOHON
SINUN VIIMEISEEN VIESTIISI, JOTEN VASTAAN TÄSSÄ:


" Höpö höpö, tuo mikään pinta ole.

ei se olekaan pinta vaan tilavuus, niinkuin sanoin. mutta on se maalipinta, joskin vain äärettömän ohut kun x lähenee ääretöntä. kyllä maalipinnan voi ajatella äärettömän ohueksi yhtälailla, kuin torven pituuden äärettömäksi.

Eli toisin sanoen jos sinä pystyt tekemään äärettömän pitkän torven. niin yhtä hyvin minä voin maalata sen äärettömän ohuella maalikerroksella.

"Ethän sinä taloakaan maalaa siten, että talon päälle asetetaan jokin pikkuisen taloa suurempi muotti ja sitten muotin ja talon väliin jäävä alue täytetään maalilla"

En maalaakaan, mutta väitätkö, ettei niin pystyisi tekemään?
Minä en väitä, että se olisi kaikkein järkevin tapa maalata talo, mutta kyllä se onnistuu...teoriassa siis.

Nyt täytyy siis muistaa, että käytäntö ja teoria eivät koskaan kulje käsikädessä.

"Oikeastihan maalaus tapahtuu näin: Otetaan maalattava pinta S ja arvioidaan maalikerroksen paksuudeksi vaikka h. Voidaan tehdä karkea oletus, että maalikerros on kauttaaltaan yhtä paksu ja tasainen, jolloin maalikerroksen tilavuus on S*h. Oikeastihan tilavuus on enemmän kuin tuo, koska pinta on ympyrämäinen ja maalataan pinnan ulkopuolta. Jos maalataan sisäpuolta, on tilavuus vähän pienempi, mutta se ei muuta itse asiaa miksikään

Nojoo.... Kyllähän sen nyt lapsikin tajuaa että äärettömän pinnan maalaamiseen kuluu maalia ääretön määrä jos pinta on hiukankin suurempi kuin nolla, mutta kyseisessä ratkaisussa, käytetään raja-arvoihin perustuvaa ajattelua, että maalipinnan paksuus lähestyy nollaa, mutta ei kuitenkaan ole nolla. integrointihan perustuu yhtälailla raja-arvoihin (jolla osoitettiin torven tilavuus.)

Tämä näennäinen paradoksihan johtuu vain siitä, että sitä on mahdoton toteuttaa luonnossa.

Mutta pahoittelen virhettäni tuossa edellisessä otsikossani, jossa sanoin, että ilman maalia. Tarkoitan tietysti, että "pienellä pisaralla"...

Strawman kirjoitti:

"muotoillaan maalipinta seuraavasti:

Käyrän y1=1/x kanssa samaan koordinaatistoon piirretään käyrä y2=(neliöjuuri(2))/x, maalipinta
on siis käyrien välissä."

Höpö höpö, tuo mikään pinta ole.

Ethän sinä taloakaan maalaa siten, että talon päälle asetetaan jokin pikkuisen taloa suurempi muotti ja sitten muotin ja talon väliin jäävä alue täytetään maalilla.

Oikeastihan maalaus tapahtuu näin: Otetaan maalattava pinta S ja arvioidaan maalikerroksen paksuudeksi vaikka h. Voidaan tehdä karkea oletus, että maalikerros on kauttaaltaan yhtä paksu ja tasainen, jolloin maalikerroksen tilavuus on S*h. Oikeastihan tilavuus on enemmän kuin tuo, koska pinta on ympyrämäinen ja maalataan pinnan ulkopuolta. Jos maalataan sisäpuolta, on tilavuus vähän pienempi, mutta se ei muuta itse asiaa miksikään.

Ja koska tiedettiin, että pinta S on äärettömän suuri, on myös tilavuus S*h ääretön, kun h>0. Ts. maalia kuluu äärettömästi.

Lue lisää

Kävin näyttämässä eilen ton mun todistuksen meidän matikan proffalle, ja tänään se esitti sen luennolla koko porukalle... se pitää siis paikkansa.

Olis kiva tietää että mitä sä tarkotit tolla:

"Höpö höpö, tuo mikään pinta ole."

omituinen kommentti...kun et perustellutkaan sitä mitenkään(ellei tota talonmaalaus esimerkkiä oteta huomioon, joka oli kyllä aika kaukaa haettu sekin..)

Octobear kirjoitti:

Kävin näyttämässä eilen ton mun todistuksen meidän matikan proffalle, ja tänään se esitti sen luennolla koko porukalle... se pitää siis paikkansa.

Olis kiva tietää että mitä sä tarkotit tolla:

"Höpö höpö, tuo mikään pinta ole."

omituinen kommentti...kun et perustellutkaan sitä mitenkään(ellei tota talonmaalaus esimerkkiä oteta huomioon, joka oli kyllä aika kaukaa haettu sekin..)

Lue lisää

"Kävin näyttämässä eilen ton mun todistuksen meidän matikan proffalle, ja tänään se esitti sen luennolla koko porukalle... se pitää siis paikkansa."

Mielenkiintoista... Proffa esittää asian X luennolla => X pitää siis paikkansa!

Missä yliopistossa tämä tapahtui, jos saan kysyä?

""Höpö höpö, tuo mikään pinta ole.""

"omituinen kommentti...kun et perustellutkaan sitä mitenkään"

Tarkoitin sillä muistaakseni sitä, että kun otetaan f(x) ja g(x) s.e. |f(x) - g(x)| < E (E > 0) kaikilla x välillä [a, inf[, ja olkoot F \subset R^3 f(x):n pyörähdyskappale ja G \subset R^3 g(x):n pyörähdyskappale, niin tällöin F \ G ei ole mikään pelkkä R^3:n pinta (vaan tilavuus), vaikka lim_{x->inf} |f(x) - g(x)| = 0.

Strawman kirjoitti:

"Kävin näyttämässä eilen ton mun todistuksen meidän matikan proffalle, ja tänään se esitti sen luennolla koko porukalle... se pitää siis paikkansa."

Mielenkiintoista... Proffa esittää asian X luennolla => X pitää siis paikkansa!

Missä yliopistossa tämä tapahtui, jos saan kysyä?

""Höpö höpö, tuo mikään pinta ole.""

"omituinen kommentti...kun et perustellutkaan sitä mitenkään"

Tarkoitin sillä muistaakseni sitä, että kun otetaan f(x) ja g(x) s.e. |f(x) - g(x)| < E (E > 0) kaikilla x välillä [a, inf[, ja olkoot F \subset R^3 f(x):n pyörähdyskappale ja G \subset R^3 g(x):n pyörähdyskappale, niin tällöin F \ G ei ole mikään pelkkä R^3:n pinta (vaan tilavuus), vaikka lim_{x->inf} |f(x) - g(x)| = 0.

Lue lisää

"missä yliopistossa tämä tapahtui, jos saan kysyä?"

Turun yliopistossa. Meillä oli taannoin puhetta luennoilla kyseisestä torvesta, ja luennon jälkeen aloin pohtia sitä johtopäätöstä että:

"torvella on ääretön pinta => tarvitaan ääretön määrä maalia sen maalaamiseen."

ja päädyin kyseiseen johtopäätökseen todistuksen kautta, siis että näin ei välttämättä tarvitse olla. Ja kun näytin sen proffalle, hän seuraavalla luennolla osoitti sen koko porukalle.

"Tarkoitin sillä muistaakseni sitä, että kun otetaan f(x) ja g(x) s.e. |f(x) - g(x)| < E (E > 0) kaikilla x välillä [a, inf[, ja olkoot F \subset R^3 f(x):n pyörähdyskappale ja G \subset R^3 g(x):n pyörähdyskappale, niin tällöin F \ G ei ole mikään pelkkä R^3:n pinta (vaan tilavuus), vaikka lim_{x->inf} |f(x) - g(x)| = 0."

Outoa, että sait sellaisen käsityksen, kun nimenomaan sanoin että, se on maalipinta, jonka itse ainakin ymmärrän tilavuudeksi välittömästi... ja kun painotin, että maalia ei mitata alana vaan tilavuuksina... no ehkä luit huolimattomasti.

se talon maalausjuttu mua kyllä vielä ihmetyttää...se oli kylla ihan toiselta planeetalta. :)

no mutta pääasia että ollaan samaa mieltä, vai ollaanko? no ihan sama