Tuo ketju "Perusyhtälön ratkaisu" sai minut kirjoittamaan tämän.
Yhtälöiden käsittelyssä on kaksi sääntöä.
1. Jos a = b ja c= d niin a c = b d. Eli kun yhtäsuuriin lisätään yhtäsuuret saadaan yhtäsuuret.Lisäksi on huomattava, että vähennyslasku on myös yhteenlaskua; a - b = a (- b). Näin ollen jos - c = - d niin a-c = b-d. Vähennyslaskuun ei siis tarvita omaa sääntöä.
2. Jos a = b ja c= d niin ac = bd. Eli kun yhtäsuuret luvut kerrotaan yhtäsuurilla luvuilla saadaan yhtäsuuret luvut.Lisäksi on huomattava että luvulla jakaminen on tuon luvun kertomista jakajan käänteisluvulla eli a/b = a (1/b). Jakolaskua varten ei siis tarvita omaa sääntöä.
Lisäksi on syytä muistaa että yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia:
a b = b a ja ab = ba sekä liitännäisiä: a (b c) = (a b) c = a b c ja
a(bc) = (ab) c = abc. On myös osittelulaki : a (b c) = ab ac.
Järkeenkäypää, eikö totta?
Sitten kun nämä säännöt on sisäistänyt niin ei niitä enää tarvitse ihan näkyville kirjoittaa joka kerta vaan laskut sujuvat mekaanisesti. Mutta unohtakaa "ristiinkertomiset" jne.
Esimerkkejä:
Sääntö 1:
x 3 = 5
- 3 = -3
joten (x 3) (- 3) = 5 (-3) ja siis x (3 (-3) ) = 5 - 3 ja x = 2. Tuossa käytettiin vielä yhteenlaskun liitäntälakia. Mutta eihän tuossa noin paljon tarvitse hienostella, näkeehän sen suoraan yhteenlaskemalla nuo kaksi yhtälöä puolittain että x = 2.
x 3 = 5, -5 = -5 joten (x 3) (-5) = 5 (-5) ja siis x - 2 = 0 koska 2=2 niin x = n2.
(Etumerkki vaihtuu kun luku siirretään yhtälön toiselpa puolelta toiselle).
a x by = cx dy
-by = - by joten
ax = cx dy - by
-cx = -cx ja siis
(a-c) x = (d-b)y.
x^2 3x 5 = 23
-23 = - 23 joten
x^2 3x - 18 = 0.
Sääntö 2:
3 a =6
1/3 = 1/3 joten
(1/3) 3 a = 1/3 * 6 eli a = 2.
Erityisesti on c = c joten jos a=b niin ac = bc.
a = b
- c = -c
joten -c a= -c b ja siis - ac = - bc.
3a = 6 b
1/3 =1/3
joten
a = 2 b.
- 2a = 5 b
- 1/2 = - 1/2 joten
a = -5/2 b sillä -1/2 (- 2a) = -1/2 * 5b ja (- 1/2 * (-2)) a =- 5/2 b ja lopulta koska -1/2 * (- 2) = 1 on a = -5/2 b.
a/x = b
x = x joten
x( a/x) =xb ja siis a = bx.
a/b = c/d
d = d ja siis (a/b) d = c ja koska b = b niin b (a/b) d =b c eli ad = bc (ristiinkertominen)..
ax^2 2/y = 3 (jotta yhtälö olisi mielekäs täytyy olla y =/ 0)
- 3 = -3 joten ax^2 2/y -3 = 0
(-2)/y =(-2)/y joten
ax^2 - 3 = - 2/ y (tässä on taas se "koululaissääntö" että "etumerkki vaihtuu kun luku siirretään yhtälön toiselta puolelta toiselle puolelle")
Tuosta muodosta ax^2 2/y - 3 = 0 saadaan tietysti myös koska y = y niin
ax^2 y - 3 y 2 = 0.
No näyttänee vähän monimutkaiselta, tuli pitkä juttu kun laitoin noita esimerkkejä mutta yksinkertaisesti sanoen siis ristiinkertominen ja etumerkin vaihtuminen eivät ole mitään salaperäisiä, uusia ja ulkoa opittavia sääntöjä vaan seuraavat itsestään selvistä säännöistä 1 ja 2.
Ohman
Yhtälöiden käsittelyssä on kaksi sääntöä.
1. Jos a = b ja c= d niin a c = b d. Eli kun yhtäsuuriin lisätään yhtäsuuret saadaan yhtäsuuret.Lisäksi on huomattava, että vähennyslasku on myös yhteenlaskua; a - b = a (- b). Näin ollen jos - c = - d niin a-c = b-d. Vähennyslaskuun ei siis tarvita omaa sääntöä.
2. Jos a = b ja c= d niin ac = bd. Eli kun yhtäsuuret luvut kerrotaan yhtäsuurilla luvuilla saadaan yhtäsuuret luvut.Lisäksi on huomattava että luvulla jakaminen on tuon luvun kertomista jakajan käänteisluvulla eli a/b = a (1/b). Jakolaskua varten ei siis tarvita omaa sääntöä.
Lisäksi on syytä muistaa että yhteenlasku ja kertolasku ovat vaihdannaisia:
a b = b a ja ab = ba sekä liitännäisiä: a (b c) = (a b) c = a b c ja
a(bc) = (ab) c = abc. On myös osittelulaki : a (b c) = ab ac.
Järkeenkäypää, eikö totta?
Sitten kun nämä säännöt on sisäistänyt niin ei niitä enää tarvitse ihan näkyville kirjoittaa joka kerta vaan laskut sujuvat mekaanisesti. Mutta unohtakaa "ristiinkertomiset" jne.
Esimerkkejä:
Sääntö 1:
x 3 = 5
- 3 = -3
joten (x 3) (- 3) = 5 (-3) ja siis x (3 (-3) ) = 5 - 3 ja x = 2. Tuossa käytettiin vielä yhteenlaskun liitäntälakia. Mutta eihän tuossa noin paljon tarvitse hienostella, näkeehän sen suoraan yhteenlaskemalla nuo kaksi yhtälöä puolittain että x = 2.
x 3 = 5, -5 = -5 joten (x 3) (-5) = 5 (-5) ja siis x - 2 = 0 koska 2=2 niin x = n2.
(Etumerkki vaihtuu kun luku siirretään yhtälön toiselpa puolelta toiselle).
a x by = cx dy
-by = - by joten
ax = cx dy - by
-cx = -cx ja siis
(a-c) x = (d-b)y.
x^2 3x 5 = 23
-23 = - 23 joten
x^2 3x - 18 = 0.
Sääntö 2:
3 a =6
1/3 = 1/3 joten
(1/3) 3 a = 1/3 * 6 eli a = 2.
Erityisesti on c = c joten jos a=b niin ac = bc.
a = b
- c = -c
joten -c a= -c b ja siis - ac = - bc.
3a = 6 b
1/3 =1/3
joten
a = 2 b.
- 2a = 5 b
- 1/2 = - 1/2 joten
a = -5/2 b sillä -1/2 (- 2a) = -1/2 * 5b ja (- 1/2 * (-2)) a =- 5/2 b ja lopulta koska -1/2 * (- 2) = 1 on a = -5/2 b.
a/x = b
x = x joten
x( a/x) =xb ja siis a = bx.
a/b = c/d
d = d ja siis (a/b) d = c ja koska b = b niin b (a/b) d =b c eli ad = bc (ristiinkertominen)..
ax^2 2/y = 3 (jotta yhtälö olisi mielekäs täytyy olla y =/ 0)
- 3 = -3 joten ax^2 2/y -3 = 0
(-2)/y =(-2)/y joten
ax^2 - 3 = - 2/ y (tässä on taas se "koululaissääntö" että "etumerkki vaihtuu kun luku siirretään yhtälön toiselta puolelta toiselle puolelle")
Tuosta muodosta ax^2 2/y - 3 = 0 saadaan tietysti myös koska y = y niin
ax^2 y - 3 y 2 = 0.
No näyttänee vähän monimutkaiselta, tuli pitkä juttu kun laitoin noita esimerkkejä mutta yksinkertaisesti sanoen siis ristiinkertominen ja etumerkin vaihtuminen eivät ole mitään salaperäisiä, uusia ja ulkoa opittavia sääntöjä vaan seuraavat itsestään selvistä säännöistä 1 ja 2.
Ohman
Vastaukset 1
Vanhimmat
Noin se on.
Maanläheinen tapa ajatella on, että yhtälö on kuin kakai vaakauppia, jotka ovat tasapainossa. Tasapaino säilyy, jos kumpaakin vaakakuppin tehdään sama toimenpide, eli:
1) molemmat puolet voidaan kertoa samalla luvulla tai lausekkeella
2) molemmat puolet voidaan jakaa samalla luvulla tai l
3) molempiin puoliin voidaan lisätä sama luku tai l
4) molemmista puolista voidan vähentää sama luku tai l
Esimerkki
a b = c
4) vähennetään c molemmista vaakakupeista
a b-c = c-c
eli
a b-c = 0