Tässä pari tehtävää joita en ymmärrä - lukion kurssista raja-arvo/derivaatta, eli pitäis varmaan soveltaa näihin tehtäviin tässä kurssissa opittuja asioita.
x^3 x a=0 Millä vakion a arvoilla yhtälön reaalijuuri on välillä ]1,2[
Määritä vakiot a ja b siten, että
lim x^2 ax b/(x-2)=3
x->2
miten ratkaistaan ja mikä on sen idea?
x^3 x a=0 Millä vakion a arvoilla yhtälön reaalijuuri on välillä ]1,2[
Määritä vakiot a ja b siten, että
lim x^2 ax b/(x-2)=3
x->2
miten ratkaistaan ja mikä on sen idea?
Vastaukset 5
Vanhimmat
no tuohon jälkimmäiseen löytyy jonkinlaista vinkkiä. jos ajatellaan että saadan tuo nimittäjän supistettua pois, niin osoittaja pitää olla muotoa (x-2)(x ?) sitten kun supistaa tuon termin x-2 pois, niin jäljelle jää x ?, jonka pitäisi olla =3, kun x ->2. sen ehkä keksit itse..
sitten nuo aukikertomalla saat tuon muotoisen osoittajan kuin tuossa esimerkissä. siitä sitten vaan katsot, mitä a ja b ovat.
x^3 x a=0 Millä vakion a arvoilla yhtälön reaalijuuri on välillä ]1,2[ ?
Olkoon f(x)=x^3 x a. Nyt f on selvästi aidosti kasvava välillä ]1,2[. Nyt \lim_{x \to 1 } f(x)=2 a ja \lim_{x \to 2-} f(x)=10 a. Siis ja riittävä ehto juurten olemassaololle on Bolzanon lauseen perusteella 2 a0, eli -102
Tarkoittanet raja-arvoa
lim (x^2 ax b/(x-2))=3
x->2
Nyt huomataan että kohdassa x=2 termi b/(x-2) kasvaa tai pienenee rajatta riippuen b:n etumerkistä ja suunnasta josta kakkosta lähestytään. Siten raja-arvo on olemassa vain jos b=0, sillä muu osa lausekkeesta käyttäytyy kiltisti kakkosen lähiympäristössä. Mutta jos b=0, on
lim_{x \to 2} ( x^2 ax b/(x-2))=lim_{x \to 2} (x^2 ax)=4 2a.
Siis pitää olla 4 2a=3 eli a=-1/2, b=0.
Voisko sen vielä kerran vääntää mulle rautalangasta ku en vaan ymmärrä. Bolzanon lauseen tajuan- mutta noi a 2 ja a 10 muodot ei kerro mulle mitään enkä osaa niistä päätellä lopullista vastausta.
Kiitoksia muuten hyvistä vinkeistä
Jos ymmärrät Bolzanon, niin tämä on sen yksinkertainen sovellus. Lausehan sanoo, että jos jatkuva funktio saa välillä sekä negatiivisia että positiivisia arvoja, se saa jollain x myös arvon 0. Tässä tapauksessa liikuttiin välillä [1,2]. Tarkoitus on saada f(x) negatiiviseksi kohdassa x=1 ja positiiviseksi kohdassa x=2. Tämä tapahtuu helpolla rajankäynnillä, kuten tuossa edellä olevassa ratkaisussa on tehty. Raja-arvo kohdassa x=1 on tietysti 2 a ja kohdassa x=2 10 a. Merkitään edellinen negatiiviseksi ja jälkimmäinen positiiviseksi, jolloin epäyhtälön pyörittelyllä saadaan ratkaisuksi -10
Se oli selvääkin selkeämpää tekstiä. Ymmärretty!! piste.
Thank You!