Yhtälöryhmä, neljä muuttujaa

Aluksi voidaan laskea puolittain yhteen 2. ja 4. yhtälöt. Silloin a ja c häipyvät ja saadaan
b 8d = 1.
ratkaistan tästä b = 1 - 8d. Sijoitetaan tämä b:n paikalle yhtälöihin 1. 2. ja 3. Nyt meillä on kolme yhtälöä ja kolme tuntematonta a, c, ja d.

Ax = b, jossa A on kerroinmatriisi ja b vakioista muodostuva vektori (-9,4-11, -3) ja vielä vektori x =(a,b,c,d). Kerroinmatriisi A = [(2,3,-4,1), 1,-2,1,6),(4,-1,1,3), (-1,3,-1,2)].

vastaus on x = A^(-1)*b, jossa A^(-1) on A:n käänteismatriisi. Siinähän se ;)
Excelillä ratkaistuna a = 2, b = 1, c = 4 ja d = 0

Matriisin käännöksellä, iteroimalla tai eliminaatiolla. Melko työläs lasku käsin laskettavaksi. Toisaalta koneella laskien ymmärrys voi jäädä saavuttamatta.

Siinähän pitää ottaa käsittelyyn eka yhtälö ja (kolmas yhtälö kahdella kerrottuna).
Niistä saadaan: c=18-7a
Sitten toinen ja vika yhtälö, ja niistä saadaan b=1-8d
Nää saadut tulokset sijoitetaan vuorotellen ekaan ja kolmanteen , ja saadaan pari yhtälöä lisää: 6a-d=12 ja 3c 77d=12

Eli on yhtälöt:
7a c=18, tästä a, joka sijoitetaan tokaan, josta tulee: d=6/7(18-c)-12, ja se neloseen
6a-d=12
b 8d=1
3c 77d=12

3c 66(18-c)-12*77=12 =>c=4, a=2, d=0 ja b=1

Peruskoulun alkeismatematiikallakin selviää, vaikka vaiheita onkin enemmän, seuraavasti:
1) valitse joku yhtälöista ja ratkaise se jonkun muuttujan (esim. a) suhteen, saat jotakin a=... muiden muuttujien avaulla lausuttuna.
2) Sijoita tämä a kolmeen muuhun yhtälöön, nyt sinulla on kolme yhtälöä, joissa esiintyy vain termit b, c ja d.
3) Toista ylläoleva vaikkapa b:n suhteen näillä kolmella yhtälöllä. Nyt sinulla on kaksi yhtälöä, joissa esiintyy vain termit c ja d.
4) Jälleen sama temppu noilla kahdella vaikkapa c:n suhteen, niin d ratkeaa.
5) Sijoittamalla d:n arvo kohdan 3) jompaan kumpaan yhtälöön, ratkeaa c:n arvo.
6) Sijoittamalla c:n ja d:n arvo kohdan 2) johonkin yhtälöön, ratkeaa b:n arvo.
7) lopuksi saat a:n arvon jonkin alkuperäisen yhtälön avulla

Eliminoidaan muista yhtälöistä a pois tiedon -a 3b-c 2d=-3 avulla.

2a 3b-4c d=-9
a-2b c 6d=4
4a-b c 3d=11

Saadaan

9b-6c 5d=-15
b 8d = 1
11b -3c 11d=-1

Eliminoidaan muista yhtälöistä b pois tiedon b 8d = 1 perusteella

Saadaan


-6c-67d=-24
-3c-77d=-12

Eliminoidaan ylemmästä yhtälöstä c pois tiedon -3c-77d=-12 perusteella

Saadaan
jotain *d=-24 2*12=0 eli d =0.

Sijoittamalla edelliseen
-3c-77d=-12 saadaan -3c=-12 eli c = 4.

Sijoittamalla yhtälöön
b 8d = 1 tieto d=0 saadaan b=1

ja edelleen sijoittamalla tiedot d=0, c=4 ja b=1 yhtälöön 2a 3b-4c d=-9
saadaan 2a 3-16=-9 eli a=2.

Siten, jos kaikki meni oikein, a=2, b=1, c=4 ja d=0. Joka tapauksessa idea on tämä oli yhtälöitä kuinka monta tahansa ja ratkaisi sitten miten tahansa. Ratkaisu on tarkistettavissa katsomalla toteutuuko alkuperäiset yhtälöt, kun a=2, b=1, c=4 ja d=0.