Apua kaivattaisiin seuraavan lausekkeen integroinnissa:
dz/((y^2 z^2)^3/2)
(Selvyyden vuoksi parit ylimääräisetkin sulut...)
Tiedän vastauksen: => z/ y^2(y^2 z^2),
mutta miten siihen päästiin?!?
Integrointia on tullut harjoiteltua viimeksi kolmisen vuotta sitten, joten on aika hyvin päässyt säännöt unohtumaan.
Miksi esimerkiksi jakajaan ilmestyy y^2? Liittyykö se siihen, että integroidaan z:n suhteen ja y^2 on (y^2 z^2)^3/2 sisäintegraali?
Voisiko joku ystävällinen ihminen neuvoa miestä mäessä?
dz/((y^2 z^2)^3/2)
(Selvyyden vuoksi parit ylimääräisetkin sulut...)
Tiedän vastauksen: => z/ y^2(y^2 z^2),
mutta miten siihen päästiin?!?
Integrointia on tullut harjoiteltua viimeksi kolmisen vuotta sitten, joten on aika hyvin päässyt säännöt unohtumaan.
Miksi esimerkiksi jakajaan ilmestyy y^2? Liittyykö se siihen, että integroidaan z:n suhteen ja y^2 on (y^2 z^2)^3/2 sisäintegraali?
Voisiko joku ystävällinen ihminen neuvoa miestä mäessä?
Vastaukset 4
Vanhimmat
"dz/((y^2 z^2)^3/2)
(Selvyyden vuoksi parit ylimääräisetkin sulut...)"
Sulut kuitenkin ilmeisesti unohtuivat (3/2):n ympäriltä. Muuten tuosta tulee aikalailla erilainen vastaus - binomin kuutio nimittäjässä aiheuttaisi rutkasti enemmän hommia integrointiin.
No, joka tapauksessa, tällaiset lausekkeet, joissa on nimittässä jonkin juuren alla a^2 x^2 ratkeavat useimmiten sijoituksella x = a tan(t).
I = \int dz/((y^2 z^2)^(3/2))
sij.
z := y tan(t)
dz := y sec(t)^2 dt
t := arctan(z/y)
=> I = \int (y sec(t)^2 dt) / (y^2 y^2 tan(t)^2)^(3/2)
= \int dt / (y sqrt(y^2 sec(t)^2) )
= \int dt / (y^2 sec(t))
= sin(t) / y^2 C
= sin( arctan(z/y) ) / y^2 C
= z / (y^3 sqrt(1 (z^2)/(y^2))) C
= z / (y^2 sqrt(y^2 z^2)) C
Merkintöjä:
sec(t) = 1 / cos(t)
\int = integraalimerkki
"Tiedän vastauksen: => z/ y^2(y^2 z^2),"
Nämä vastaukset eivät kyllä nyt täsmää, lienetkö vain unohtanut neliöjuuren tuosta vai onko tuo minun esittämäni väärin?
"Miksi esimerkiksi jakajaan ilmestyy y^2?"
Se on itse asiassa ainut termi, joka siellä pysyy koko ajan, ks. yllä.
"Liittyykö se siihen, että integroidaan z:n suhteen ja y^2 on (y^2 z^2)^3/2 sisäintegraali?"
Integroinnissa ei voida samalla tavoin ajatella "sisäintegraaleja" kuin derivoitaessa yhdistettyjä funktioita, jolloin pitää muistaa sisäfunktion derivaatta. Joissain tapauksissa, kuten esim \int cos^2(x) sin(x) dx, voidaan kyllä hyödyntää sisäfunktion _derivaattaa_, jolloin vastaus voidaan nähdä lähes suoraan, mutta antamassasi tilanteessa minä en ainakaan nähnyt ratkaisua suoraan, vaan se piti hakea sijoitusmenetelmän avulla.
Juu, huolimattomuusvirheitä oli näköjään lipsahtanut kysymykseen. Sulut tosiaan puuttuivat tuon 3/2:n ympäriltä ja neliöjuuri unohtui vastauksesta.
Kiitokset selvennyksestä!
Ei kyllä vieläkään tämä asia aukea...
Miten kaavan ratkaisu muuttuu, mikäli osoittajassa onkin dz:n sijasta z*dz ?
Eli: (z*dz) / ((y^2 z^2)^(3/2))
Vastaukseksi pitäisi tulla:
= ( 1/sqrt(y^2) - 1/sqrt(y^2 z^2)
Ei voi tajuta, miten tuohon vastaukseen päädytään.
"Eli: (z*dz) / ((y^2 z^2)^(3/2))"
Tämähän on huomattavasti helpompi kuin 1. viestissä esitetty - olettaen, että lausekkeesta "suoraan nähdään" muutamia asioita:
Kirjoitetaan häkkyrä muotoon
z (y^2 z^2)^(-3/2) dz,
mistä toivon mukaan huomaa, että z, tai siis 2z, on potenssin alla olevan lausekkeen derivaatta z:n suhteen.
Näin ollen tuon koko hoidon integraalin voi nähdä suoraan. Koska funktion h(x) = (y^2 z^2)^(-1/2) derivaatta on
dh/dz = -(1/2) 2z (y^2 z^2)^(-3/2) = -z (y^2 z^2)^(-3/2),
niin nähdään, että -dh/dz on täsmälleen alkuperäinen lauseke.
=> \int (z*dz) / ((y^2 z^2)^(3/2)) = -(y^2 z^2)^(-1/2) C
"= ( 1/sqrt(y^2) - 1/sqrt(y^2 z^2)
Ei voi tajuta, miten tuohon vastaukseen päädytään."
No eihän siitä ihan tuollaista tulekaan.