1.) D (e(potenssiin 2x-1))
2.) Määritäfunktion F(x) = x³ ((5/2)x²) -2x suurin ja pienin arvo välillä (-3, 1)
3. Kappaleen massaksi on mitattu M = (70,9 0,1) g ja tilavuudeksi V = 125 - 2CM³. Laske kappaleen tiheys virherajoineen. Käytä osittaisderivaattoja virheen arviointiin.
Välivaiheineen.
Kiitos paljon, kaikesta avusta.
2.) Määritäfunktion F(x) = x³ ((5/2)x²) -2x suurin ja pienin arvo välillä (-3, 1)
3. Kappaleen massaksi on mitattu M = (70,9 0,1) g ja tilavuudeksi V = 125 - 2CM³. Laske kappaleen tiheys virherajoineen. Käytä osittaisderivaattoja virheen arviointiin.
Välivaiheineen.
Kiitos paljon, kaikesta avusta.
Vastaukset 23
Vanhimmat
1. Ihan yleisesti on d/dx(e^f(x)) = e^f(x) * f'(x).
Tässä f(x) = 2x - 1, joten d/dx (e^(2x-1)) = e^(2x-1) * d/dx(2x-1) = 2 e^(2x-1).
2. F(x) = x^3 5/2 x^2 - 2x
F'(x) = 3 x^2 5x - 2 = 0 joten nollakohdat ovat x = (-5 /- sqrt(25 24)) / 6 = (-5 /- 7) / 6 ja x1 = 2/6 = 1/3 ja x2 = - 12/6 = - 2.
F''(x) = 6 x 5, F''(1/3) = 7 > 0 joten kyseessä minimi. Tämän näet myös siitä, että F' :n etumerkki vaihtuu negatiivisesta positiiviseksi kun x ohittaa pisteen x= 1/3 vasemmalta oikealle x-akselilla.
F(1/3) = - 19/54.
F''(-2) = - 7 < 0 joten kyseessä maksimi. F':n etumerkki vaihtuu positiivisesta negatiiviseksi kun ohitetaan piste x = - 2, kyseessä maksimi.
F(-2) = 6
Alueen reunoilla on F(- 3) = 3/2 ja F(1) = 3/2.F(-2) = 6 on siis suurin arvo koko välillä.
F(1/3) = - 19/54 on pienin arvo kyseisellä välillä.
Ohman
3. Välivaiheet:
Tiheys T on kahden muuttujan M ja V funktio : T(M,V) = M/V.
l d T(M,V) l = l dT/dM dM dT/dV dV l = l dM/V - M/V^2 dV l <= l dM/V l l M/V^2 dV l = ( l V dMl l M dV l) / V^2
Ohman
Niin usein kysellään tuollaisia yhdistetyn funktion derivaattoja kuten tuo e^(2x -1), että muistutan nyt koululaisten mieleen "ketjusäännön" eli sen, miten yhdistetty funktio derivoidaan.
Olkoon F(x) = f(g(x)). Tällöin F'(x) = f'(g(x)) * g'(x).
Tuon yhtälön merkitys täytyy ymmärtää. Siinä siis derivoidaan f(x) tavalliseen tapaan ja sitten saatuun tulokseen sijoitetaan x:n paikalle g(x).
Esimerkki 1 : g(x) = 2x - 1. f(x) = e^x. F(x) = f(g(x)) = e^g(x) = e^(2x - 1).
f'(x) = e^x joten f'(g(x)) = e^g(x) = e^(2x - 1). g'(x) = 2, F'(x) = e^(2x - 1) * 2.
Olkoon g mikä tahansa derivoituva funktio ja F(x) = e^g(x). Tämä on nyt taas yhdistetty funktio f(g(x)) missä f(x) = e^x . Siis F'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = e^g(x) * g'(x).
Tämän ketjusäännön ymmärtäminen on hyödyksi monissa laskuissa.
Esimerkki 2:
'Mitä on d/dx(log(g(x))) ? Määritelmän mukaan e^(log(g(x)) = g(x) joten
derivoimalla puolittain saadaan e^(log(g(x)) * d/dx(log(g(x)) = g'(x) eli g(x) * d/dx(log(g(x))) = g'(x) eli d/dx(log(g(x))) = g'(x) / g(x).
Erityisesti kun g(x) = x saadaan d/dx(log(x)) = 1/x.
Esimerkki 3:
d/dx (arcsin(x)) ?
sin(arcsin(x)) = x ja derivoimalla puolittain saadaan cos(arcsin(x)) *d/dx(arcsin(x)) = 1 joten d/dx(arcsin(x) = 1/cos(arcsin(x)) = 1/sqrt(1 - sin^2(arcsin(x))) = 1 / sqrt(1 - x^2).
Jne,jne,...
Ohman
ja kolmosen vastaus ilman välivaiheita on 0,57 - 0,01 g/cm^3
Kappale on joko puuta (mäntyä), tai normaali pilkkiahven..
niinpä+eli+mäntyä,+jos+kosteus+on+30%+ja+koivua,+jos+13+%
Nyt on kuitenkin mahdollista, että massan alarajalla ja tilavuuden ylärajalla saadaankin kappale, jonka tiheys ei sovi noiden tiheyden virherajojen sisälle. Mitäs siinä tapauksessa tehdään ? Korotetaanko vaan kylmästi 0,57 - 0,02 g/cm^3 ?
Jo+derivaattaa+muodostettaessa+on+lähtöoletuksena+että+dx+on+niin+pieni+että+sen++toinen+tai+useampi++potenssi+voidaan+katsoa+olevan+0.
ookko ihan viisas?
Oletetaan neliö jonka sivu x on 10 yksikköä ja virhe dx = /- 1 yksikkö.
Pinta-ala A on siis x^2 = 100 ja sen virhe dA =2*dx*x = /- 20 .
Virherajat voidaan laskea myös käyttämällä ääriarvoja, eli jos x voi olla 9...11, pinta-ala voi olla 81...121 , eli edelleen /- 20, mutta oikea tulos on 101 /- 20 vs derivointikaavalla saatu tulos 100 /- 20 !
Taylorin kaava :
f(x) - f(a) = f'(a) (x-a) 1/2! f'(ksii)(x-a)^2, missä ksii on x:n ja a:n välissä.
Jäännöstermi R2 on siis tuo jälkimmäinen summan termi, f(x) - f(a) = f'(a) (x-a) R2.
Jäännöstermille R2 on johdettu useita eri esityksiä.
Usein näissä laskuesimerkkiren virhearvioissa jätetään tuo R2 käsittelemättä, sen oletetaan olevan niin pieni. Voisihan senkin tietysti ottaa mukaan virhearvioon. Tai Taylorin kehitelmästä useampia termejä jäännöstermi.
Mutta jos jäännöstermiä ei oteta mukaan, on
l f(x) - f(a) l <= lf'(a)l * l x-al. Kyllä tässä tarkastellaan nimenomaan fumktion arvoa psteessä a ja sen ympäristössä lx-al <= d, missä tuo d on x:n mittausvirhe.Ei tässä mitään keskiarvoja oteta, vaan jos sivuksi on mitattu 10 se on tuo a ja pinta-alan f(a) = a^2 virheen itseisarvo on lf(x) - f(a)l . Oikea tulos virhearviosta on A = 100 /- 20.
Sama pätee silloin kun on kyseessä useamman muuttujan funktio. Sen sarjakehitelmästä tämänkaltainen virhearviointi silloinkin lähtee.Jos meillä on n:n muuttujan funktio f(R), missä R = (x1,x2,...,xn)) niin mitatulla arvolla eli pisteessä R0 ja sen ympäristössä l R - R0l < d tuo tarkastelu taas tapahtuu. Jos muuttujien mittausvirheet ovat eri suuret tuo ympäristö otetaan sen mukaan:
lx1 -x1(0)l <= d1,....,lxn - xn(0)l <= dn missä tuo edellä mainittu mitattu arvo a on nyt R0 = x1(0,....,xn(0).
Ohman
Kierrät+juuri+samaa+asiaa+vain+vaikeaselkoisemmin.
Tuo on väärin laskettu . Siitä nimittäin tulee neljällä desimaalilla:
0,5676±0,0167
Absoluuttisilla mitoilla tiheys on välissä 0.55826-0,57723, ja tuolla differentiaalilla:
0,5509-0,5843, eli kaikki mahdolliset tiheydet sopii virherajoihin.
Ja jos tätä nyt pyöristetään kahteen desimaaliin, niin tulee:
0,57±0,02 , ja kaikki mahdolliset tiheydet sopii vieläkin.
Nyt on tietysti mahdollista, että tämäkin on väärin laskettu...
Martta00 laski tosiaan laajenemisnopeutta. Ei hänen esimerkissään käsitelty ollenkaan mitään virhetarkastelua.Hän esitti tuon laskelman esimerkkinä ketjusäännön käytöstä derivoinnissa.
Ja tuo "Muutosta voidaan..." on höpö-höpöä.Varsinaisessa tehtävässä piti arvioida tiheyttä virherajoineen. Mitataan M ja V ja kun näiden virherajat oletetaan tunnetuiksi saadaan tiheyden virherajat.Mitähän ne "ääripäät" oikein olisivat?
Tietysti näitä virheanalyysejä voisi tehdä ihan toiseltakin pohjalta, vaikkapa todennäköisyysteoreettisesti lähtien siitä, että mittaustulokset ovat satunnaismuuttujia joilla on jokin tietty jakauma. Mutta aloittajan antamassa tehtävässä tätä ei tarkoitettu vaan nimenomaan pyydettiin tuota derivaatan (tai osittaisderivaattojen) avulla laskettavaa virhetarkastelua, joka perustuu väliarvolauseeseen (tai Taylorin kehitelmään jäännöstermeineen).
Ohman
Ymmärsitkö lainkaan mistä edes keskusteltiin ?
Tässä on useampi kirjoittaja tuonut esiin tuon osittaisderivoinnin virhemahdollisuuden ja sinä hyökkäät puolustamaan omaa näkemystäsi sarjakehitelmillä, todennäköisyyksillä, mittaustuloksilla ja muilla asiaan liittymättömillä asioilla .
Mitä ihmeen selittelyä enää kaivataan, on kaksi erilaista laskelmaa jotka antavat erilaisen tuloksen samoilla lähtöarvoilla, joten jossain on oltava jotain mätää.
Kirjoitustesi sisällöistä paistaa hyvin selvästi seikka että koet esittämiesi laskutapojen arvostelun kohdistuvan sinuun itseesi tai osaamiseesi, tuo asenne tulee todennäköisesti tuhoamaan koko palstan ilmapiirin.
Siis noin vain neuvoksi asenteen oikaisemiseksi.
"0,5676±0,0167 "
jostain syystä minun laskimeni antaa tuloksen 0,5672 ± 0,0098752
Minä käytinkin massan arvona 70,95±0,05, ja myönnän kyllä, että loppu on laskettu väärin, koska on jäänyt kertomatta tiheydellä.
Siitä tulee 0,5676±0,0095. Tämän nyt jos sitten pyöristää kahteen desimaaliin, niin menee metsään, eli kaikki mahdolliset tiheyden arvot eivät enää mahdu virherajojen sisään, eli pitää nostaa virhettä: 0,57±0,02 .
"käytinkin massan arvona 70,95±0,05"
et voi noin tehdä, punnitustuloshan oli 70,9 grammaa
Se ei ole oleellista tehtävässä, vaan se että tuo kahteen desimaaliin pyöristys aiheuttaa ongelman. Sitä ei voi joko tehdä tai on suurennettava virhettä.
Kumpikohan meistä nyt "tuhoaa palstan ilmapiirin"? Minäkö matemaattisella esitykselläni vai sinä tuolla kommentillasi?
Tuo "hyökkäämiskohta" on suorastaan käsittämätön.Enhän minä "puolustanut omaa näkemystäni sarjakehitelmillä" vaan kerroin, mistä tuo virheen arviointimenetelmä matemaattisesti johtuu. Todennäköisyyden mainitsin vain aivan toisenlaisena tapana käsitellä asiaa ja selvästi totesin, ettei sellaista käsittelyä tässä tehtävässä tarkoitettu.Tehtävässä kerrottiin, että oli mitattu M ja V, eivätkö nämä ole mittaustuloksia?
Missähän kohtaa kommentistani paistaa tuo mainitsemaasi "hyvin selvästi"? Kerro nyt minullekin vähän tarkemmin tuon neuvosi aiheuttaja.
Ohman
Millä vauhdilla kasvaa ympyrän pinta-ala, jos säde on r = 1,0 m ja se kasvaa nopeudella 0,1 m/s?
Tähän ja vastaaviin soveltuu mainiosti tuo Ohmanin esittelemä ketjusääntö. Nyt siis A = pi*r^2 ja tiedetään, että dr/dt = 0,1. Mitä on dA/dt?
Ketjusääntö: dA/dt = dA/dr * dr/dt = 2*pi*r * dr/dt = 2*pi*1,0*0,1 = 0,628 m^2/s
Tässä on nyt kyllä tullut ihan hyviä vastauksia , tosin ei siihen mitä kysyttiin.
Eli jos on helppo todeta, että saadun tuloksen virhearvio on riittämätön/väärä, niin mitä sitten tehdään ?
Enpä tiedä mitä tarkoitat, että "massan alarajalla jne.". Millä alarajalla? Millä tilavuuden ylärajalla? Eikös mittaustulos ole aina jokin a jonka ymäyristössä oikea tulos liikkuu virherajojen sisällä?
Ohman