Osaisiko joku auttaa?

3. Välivaiheet:

Tiheys T on kahden muuttujan M ja V funktio : T(M,V) = M/V.

l d T(M,V) l = l dT/dM dM dT/dV dV l = l dM/V - M/V^2 dV l <= l dM/V l l M/V^2 dV l = ( l V dMl l M dV l) / V^2

Ohman

Niin usein kysellään tuollaisia yhdistetyn funktion derivaattoja kuten tuo e^(2x -1), että muistutan nyt koululaisten mieleen "ketjusäännön" eli sen, miten yhdistetty funktio derivoidaan.
Olkoon F(x) = f(g(x)). Tällöin F'(x) = f'(g(x)) * g'(x).

Tuon yhtälön merkitys täytyy ymmärtää. Siinä siis derivoidaan f(x) tavalliseen tapaan ja sitten saatuun tulokseen sijoitetaan x:n paikalle g(x).

Esimerkki 1 : g(x) = 2x - 1. f(x) = e^x. F(x) = f(g(x)) = e^g(x) = e^(2x - 1).
f'(x) = e^x joten f'(g(x)) = e^g(x) = e^(2x - 1). g'(x) = 2, F'(x) = e^(2x - 1) * 2.

Olkoon g mikä tahansa derivoituva funktio ja F(x) = e^g(x). Tämä on nyt taas yhdistetty funktio f(g(x)) missä f(x) = e^x . Siis F'(x) = f'(g(x)) * g'(x) = e^g(x) * g'(x).

Tämän ketjusäännön ymmärtäminen on hyödyksi monissa laskuissa.
Esimerkki 2:

'Mitä on d/dx(log(g(x))) ? Määritelmän mukaan e^(log(g(x)) = g(x) joten

derivoimalla puolittain saadaan e^(log(g(x)) * d/dx(log(g(x)) = g'(x) eli g(x) * d/dx(log(g(x))) = g'(x) eli d/dx(log(g(x))) = g'(x) / g(x).

Erityisesti kun g(x) = x saadaan d/dx(log(x)) = 1/x.

Esimerkki 3:

d/dx (arcsin(x)) ?

sin(arcsin(x)) = x ja derivoimalla puolittain saadaan cos(arcsin(x)) *d/dx(arcsin(x)) = 1 joten d/dx(arcsin(x) = 1/cos(arcsin(x)) = 1/sqrt(1 - sin^2(arcsin(x))) = 1 / sqrt(1 - x^2).

Jne,jne,...

Ohman

Kappale on joko puuta (mäntyä), tai normaali pilkkiahven..

aeija kirjoitti:

Kappale on joko puuta (mäntyä), tai normaali pilkkiahven..

niinpä eli mäntyä, jos kosteus on 30% ja koivua, jos 13 %

Nyt on kuitenkin mahdollista, että massan alarajalla ja tilavuuden ylärajalla saadaankin kappale, jonka tiheys ei sovi noiden tiheyden virherajojen sisälle. Mitäs siinä tapauksessa tehdään ? Korotetaanko vaan kylmästi 0,57 - 0,02 g/cm^3 ?

epäselvähkökauko kirjoitti:

Nyt on kuitenkin mahdollista, että massan alarajalla ja tilavuuden ylärajalla saadaankin kappale, jonka tiheys ei sovi noiden tiheyden virherajojen sisälle. Mitäs siinä tapauksessa tehdään ? Korotetaanko vaan kylmästi 0,57 - 0,02 g/cm^3 ?

Lue lisää

Jo derivaattaa muodostettaessa on lähtöoletuksena että dx on niin pieni että sen toinen tai useampi potenssi voidaan katsoa olevan 0.
Jos dx/x on tarpeeksi suuri, se muuttaa keskiarvoa ja derivointi menetelmä kuvaa ensisijaisesti suhteellista virhettä.
Absoluuttista virhettä ilmoitettaessa on harkittava aiheuttaako virheen suhteellinen suuruus keskiarvoon muutosta ja onko sillä oleellista merkitystä.

Huomiosi on aiheellinen ja jos katsot vaikka Mattta00 .n esimerkkiä, niin siinä lopputuloksessa on jo 5 % virhe.

Hyvät menetelmät ovat hyviä vain oikein kaytettynä.

ookko ihan viisas?

ookko_ihan_viisas kirjoitti:

ookko ihan viisas?

Oletetaan neliö jonka sivu x on 10 yksikköä ja virhe dx = /- 1 yksikkö.
Pinta-ala A on siis x^2 = 100 ja sen virhe dA =2*dx*x = /- 20 .

Virherajat voidaan laskea myös käyttämällä ääriarvoja, eli jos x voi olla 9...11, pinta-ala voi olla 81...121 , eli edelleen /- 20, mutta oikea tulos on 101 /- 20 vs derivointikaavalla saatu tulos 100 /- 20 !

Taylorin kaava :
f(x) - f(a) = f'(a) (x-a) 1/2! f'(ksii)(x-a)^2, missä ksii on x:n ja a:n välissä.

Jäännöstermi R2 on siis tuo jälkimmäinen summan termi, f(x) - f(a) = f'(a) (x-a) R2.

Jäännöstermille R2 on johdettu useita eri esityksiä.

Usein näissä laskuesimerkkiren virhearvioissa jätetään tuo R2 käsittelemättä, sen oletetaan olevan niin pieni. Voisihan senkin tietysti ottaa mukaan virhearvioon. Tai Taylorin kehitelmästä useampia termejä jäännöstermi.

Mutta jos jäännöstermiä ei oteta mukaan, on

l f(x) - f(a) l <= lf'(a)l * l x-al. Kyllä tässä tarkastellaan nimenomaan fumktion arvoa psteessä a ja sen ympäristössä lx-al <= d, missä tuo d on x:n mittausvirhe.Ei tässä mitään keskiarvoja oteta, vaan jos sivuksi on mitattu 10 se on tuo a ja pinta-alan f(a) = a^2 virheen itseisarvo on lf(x) - f(a)l . Oikea tulos virhearviosta on A = 100 /- 20.

Sama pätee silloin kun on kyseessä useamman muuttujan funktio. Sen sarjakehitelmästä tämänkaltainen virhearviointi silloinkin lähtee.Jos meillä on n:n muuttujan funktio f(R), missä R = (x1,x2,...,xn)) niin mitatulla arvolla eli pisteessä R0 ja sen ympäristössä l R - R0l < d tuo tarkastelu taas tapahtuu. Jos muuttujien mittausvirheet ovat eri suuret tuo ympäristö otetaan sen mukaan:
lx1 -x1(0)l <= d1,....,lxn - xn(0)l <= dn missä tuo edellä mainittu mitattu arvo a on nyt R0 = x1(0,....,xn(0).

Ohman

Ohman kirjoitti:

Taylorin kaava :
f(x) - f(a) = f'(a) (x-a) 1/2! f'(ksii)(x-a)^2, missä ksii on x:n ja a:n välissä.

Jäännöstermi R2 on siis tuo jälkimmäinen summan termi, f(x) - f(a) = f'(a) (x-a) R2.

Jäännöstermille R2 on johdettu useita eri esityksiä.

Usein näissä laskuesimerkkiren virhearvioissa jätetään tuo R2 käsittelemättä, sen oletetaan olevan niin pieni. Voisihan senkin tietysti ottaa mukaan virhearvioon. Tai Taylorin kehitelmästä useampia termejä jäännöstermi.

Mutta jos jäännöstermiä ei oteta mukaan, on

l f(x) - f(a) l <= lf'(a)l * l x-al. Kyllä tässä tarkastellaan nimenomaan fumktion arvoa psteessä a ja sen ympäristössä lx-al <= d, missä tuo d on x:n mittausvirhe.Ei tässä mitään keskiarvoja oteta, vaan jos sivuksi on mitattu 10 se on tuo a ja pinta-alan f(a) = a^2 virheen itseisarvo on lf(x) - f(a)l . Oikea tulos virhearviosta on A = 100 /- 20.

Sama pätee silloin kun on kyseessä useamman muuttujan funktio. Sen sarjakehitelmästä tämänkaltainen virhearviointi silloinkin lähtee.Jos meillä on n:n muuttujan funktio f(R), missä R = (x1,x2,...,xn)) niin mitatulla arvolla eli pisteessä R0 ja sen ympäristössä l R - R0l < d tuo tarkastelu taas tapahtuu. Jos muuttujien mittausvirheet ovat eri suuret tuo ympäristö otetaan sen mukaan:
lx1 -x1(0)l <= d1,....,lxn - xn(0)l <= dn missä tuo edellä mainittu mitattu arvo a on nyt R0 = x1(0,....,xn(0).

Ohman

Lue lisää

Kierrät juuri samaa asiaa vain vaikeaselkoisemmin.
Muutosta voidaan tarkastella tietyssä pisteessä (a) vain siinä tapauksessa että mainittu da^2 oletetaan olevan 0, muussa tapauksessa muutoksen tarkastelua ei voi pitää oikeana jos se rajataan jompaan kumpaan ääripäähän.

Katso annettua esimerkkiä, Martta00 laski laajenemisnopeuden, mutta jos säde kasvaa 0.1 /s samassa ajassa pinta-ala on kasvanut pii*(2rdr dr^2), joka poikkeaa 5 %, tämän ohittaminen mihinkään vetoamalla osoittaa tilanteen hallinnan puutetta.

epäselvähkökauko kirjoitti:

Nyt on kuitenkin mahdollista, että massan alarajalla ja tilavuuden ylärajalla saadaankin kappale, jonka tiheys ei sovi noiden tiheyden virherajojen sisälle. Mitäs siinä tapauksessa tehdään ? Korotetaanko vaan kylmästi 0,57 - 0,02 g/cm^3 ?

Lue lisää

Tuo on väärin laskettu . Siitä nimittäin tulee neljällä desimaalilla:

0,5676±0,0167

Absoluuttisilla mitoilla tiheys on välissä 0.55826-0,57723, ja tuolla differentiaalilla:


0,5509-0,5843, eli kaikki mahdolliset tiheydet sopii virherajoihin.

Ja jos tätä nyt pyöristetään kahteen desimaaliin, niin tulee:

0,57±0,02 , ja kaikki mahdolliset tiheydet sopii vieläkin.

Nyt on tietysti mahdollista, että tämäkin on väärin laskettu...

NoNiinå-Niin kirjoitti:

Kierrät juuri samaa asiaa vain vaikeaselkoisemmin.
Muutosta voidaan tarkastella tietyssä pisteessä (a) vain siinä tapauksessa että mainittu da^2 oletetaan olevan 0, muussa tapauksessa muutoksen tarkastelua ei voi pitää oikeana jos se rajataan jompaan kumpaan ääripäähän.

Katso annettua esimerkkiä, Martta00 laski laajenemisnopeuden, mutta jos säde kasvaa 0.1 /s samassa ajassa pinta-ala on kasvanut pii*(2rdr dr^2), joka poikkeaa 5 %, tämän ohittaminen mihinkään vetoamalla osoittaa tilanteen hallinnan puutetta.

Lue lisää

Martta00 laski tosiaan laajenemisnopeutta. Ei hänen esimerkissään käsitelty ollenkaan mitään virhetarkastelua.Hän esitti tuon laskelman esimerkkinä ketjusäännön käytöstä derivoinnissa.

Ja tuo "Muutosta voidaan..." on höpö-höpöä.Varsinaisessa tehtävässä piti arvioida tiheyttä virherajoineen. Mitataan M ja V ja kun näiden virherajat oletetaan tunnetuiksi saadaan tiheyden virherajat.Mitähän ne "ääripäät" oikein olisivat?

Tietysti näitä virheanalyysejä voisi tehdä ihan toiseltakin pohjalta, vaikkapa todennäköisyysteoreettisesti lähtien siitä, että mittaustulokset ovat satunnaismuuttujia joilla on jokin tietty jakauma. Mutta aloittajan antamassa tehtävässä tätä ei tarkoitettu vaan nimenomaan pyydettiin tuota derivaatan (tai osittaisderivaattojen) avulla laskettavaa virhetarkastelua, joka perustuu väliarvolauseeseen (tai Taylorin kehitelmään jäännöstermeineen).



Ohman

Ohman kirjoitti:

Martta00 laski tosiaan laajenemisnopeutta. Ei hänen esimerkissään käsitelty ollenkaan mitään virhetarkastelua.Hän esitti tuon laskelman esimerkkinä ketjusäännön käytöstä derivoinnissa.

Ja tuo "Muutosta voidaan..." on höpö-höpöä.Varsinaisessa tehtävässä piti arvioida tiheyttä virherajoineen. Mitataan M ja V ja kun näiden virherajat oletetaan tunnetuiksi saadaan tiheyden virherajat.Mitähän ne "ääripäät" oikein olisivat?

Tietysti näitä virheanalyysejä voisi tehdä ihan toiseltakin pohjalta, vaikkapa todennäköisyysteoreettisesti lähtien siitä, että mittaustulokset ovat satunnaismuuttujia joilla on jokin tietty jakauma. Mutta aloittajan antamassa tehtävässä tätä ei tarkoitettu vaan nimenomaan pyydettiin tuota derivaatan (tai osittaisderivaattojen) avulla laskettavaa virhetarkastelua, joka perustuu väliarvolauseeseen (tai Taylorin kehitelmään jäännöstermeineen).



Ohman

Lue lisää

Ymmärsitkö lainkaan mistä edes keskusteltiin ?
Tässä on useampi kirjoittaja tuonut esiin tuon osittaisderivoinnin virhemahdollisuuden ja sinä hyökkäät puolustamaan omaa näkemystäsi sarjakehitelmillä, todennäköisyyksillä, mittaustuloksilla ja muilla asiaan liittymättömillä asioilla .
Mitä ihmeen selittelyä enää kaivataan, on kaksi erilaista laskelmaa jotka antavat erilaisen tuloksen samoilla lähtöarvoilla, joten jossain on oltava jotain mätää.

Kirjoitustesi sisällöistä paistaa hyvin selvästi seikka että koet esittämiesi laskutapojen arvostelun kohdistuvan sinuun itseesi tai osaamiseesi, tuo asenne tulee todennäköisesti tuhoamaan koko palstan ilmapiirin.

Siis noin vain neuvoksi asenteen oikaisemiseksi.

whatstöproplem kirjoitti:

Tuo on väärin laskettu . Siitä nimittäin tulee neljällä desimaalilla:

0,5676±0,0167

Absoluuttisilla mitoilla tiheys on välissä 0.55826-0,57723, ja tuolla differentiaalilla:


0,5509-0,5843, eli kaikki mahdolliset tiheydet sopii virherajoihin.

Ja jos tätä nyt pyöristetään kahteen desimaaliin, niin tulee:

0,57±0,02 , ja kaikki mahdolliset tiheydet sopii vieläkin.

Nyt on tietysti mahdollista, että tämäkin on väärin laskettu...

Lue lisää

"0,5676±0,0167 "

jostain syystä minun laskimeni antaa tuloksen 0,5672 ± 0,0098752

martta00 kirjoitti:

"0,5676±0,0167 "

jostain syystä minun laskimeni antaa tuloksen 0,5672 ± 0,0098752

Minä käytinkin massan arvona 70,95±0,05, ja myönnän kyllä, että loppu on laskettu väärin, koska on jäänyt kertomatta tiheydellä.
Siitä tulee 0,5676±0,0095. Tämän nyt jos sitten pyöristää kahteen desimaaliin, niin menee metsään, eli kaikki mahdolliset tiheyden arvot eivät enää mahdu virherajojen sisään, eli pitää nostaa virhettä: 0,57±0,02 .

whatstöproplem kirjoitti:

Minä käytinkin massan arvona 70,95±0,05, ja myönnän kyllä, että loppu on laskettu väärin, koska on jäänyt kertomatta tiheydellä.
Siitä tulee 0,5676±0,0095. Tämän nyt jos sitten pyöristää kahteen desimaaliin, niin menee metsään, eli kaikki mahdolliset tiheyden arvot eivät enää mahdu virherajojen sisään, eli pitää nostaa virhettä: 0,57±0,02 .

Lue lisää

"käytinkin massan arvona 70,95±0,05"

et voi noin tehdä, punnitustuloshan oli 70,9 grammaa

martta00 kirjoitti:

"käytinkin massan arvona 70,95±0,05"

et voi noin tehdä, punnitustuloshan oli 70,9 grammaa

Se ei ole oleellista tehtävässä, vaan se että tuo kahteen desimaaliin pyöristys aiheuttaa ongelman. Sitä ei voi joko tehdä tai on suurennettava virhettä.

NoMikäsNyt kirjoitti:

Ymmärsitkö lainkaan mistä edes keskusteltiin ?
Tässä on useampi kirjoittaja tuonut esiin tuon osittaisderivoinnin virhemahdollisuuden ja sinä hyökkäät puolustamaan omaa näkemystäsi sarjakehitelmillä, todennäköisyyksillä, mittaustuloksilla ja muilla asiaan liittymättömillä asioilla .
Mitä ihmeen selittelyä enää kaivataan, on kaksi erilaista laskelmaa jotka antavat erilaisen tuloksen samoilla lähtöarvoilla, joten jossain on oltava jotain mätää.

Kirjoitustesi sisällöistä paistaa hyvin selvästi seikka että koet esittämiesi laskutapojen arvostelun kohdistuvan sinuun itseesi tai osaamiseesi, tuo asenne tulee todennäköisesti tuhoamaan koko palstan ilmapiirin.

Siis noin vain neuvoksi asenteen oikaisemiseksi.

Lue lisää

Kumpikohan meistä nyt "tuhoaa palstan ilmapiirin"? Minäkö matemaattisella esitykselläni vai sinä tuolla kommentillasi?

Tuo "hyökkäämiskohta" on suorastaan käsittämätön.Enhän minä "puolustanut omaa näkemystäni sarjakehitelmillä" vaan kerroin, mistä tuo virheen arviointimenetelmä matemaattisesti johtuu. Todennäköisyyden mainitsin vain aivan toisenlaisena tapana käsitellä asiaa ja selvästi totesin, ettei sellaista käsittelyä tässä tehtävässä tarkoitettu.Tehtävässä kerrottiin, että oli mitattu M ja V, eivätkö nämä ole mittaustuloksia?

Missähän kohtaa kommentistani paistaa tuo mainitsemaasi "hyvin selvästi"? Kerro nyt minullekin vähän tarkemmin tuon neuvosi aiheuttaja.

Ohman

Enpä tiedä mitä tarkoitat, että "massan alarajalla jne.". Millä alarajalla? Millä tilavuuden ylärajalla? Eikös mittaustulos ole aina jokin a jonka ymäyristössä oikea tulos liikkuu virherajojen sisällä?

Ohman