Tällainen differentiaaliyhtälö y'' - y = e^x
Näyttää päällisinpuolin helpolta.
Karakteristinen yhtälö on C1*e^x C2*e^(-x)
mutta kun yrittää muodostaa yritettä y = A*e^x
niin tulee vp. = A*e^x - A*e^x = e^x mikä tietysti on epätosi ja yhtälöllä on vielä alkuehdot jotta saataisiin yksityisratkaisu. Nimittäin y(0) = y'(0) = 0.
Osaisiko joku sanoa tähän jtkn. Pitäisikö käyttää erilaista yritettä? Kiitos jos joku osaa auttaa.
Näyttää päällisinpuolin helpolta.
Karakteristinen yhtälö on C1*e^x C2*e^(-x)
mutta kun yrittää muodostaa yritettä y = A*e^x
niin tulee vp. = A*e^x - A*e^x = e^x mikä tietysti on epätosi ja yhtälöllä on vielä alkuehdot jotta saataisiin yksityisratkaisu. Nimittäin y(0) = y'(0) = 0.
Osaisiko joku sanoa tähän jtkn. Pitäisikö käyttää erilaista yritettä? Kiitos jos joku osaa auttaa.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Yrite on Axe^x. Jos yrite sisältyy homogeenisen yhtälön yleiseen ratkaisuun, on yrite kerrottava x:llä.
Jos funktio e^x, niin yrite A*e^x.
Yrite on A*x*e^x, jos e^x on homogeeniyhtälön ratkaisu.
Yrite on A*x^2*e^x, jos myös x*e^x on homogeeniyhtälön ratkaisu, jne.
Näinhän ne yrittävät TKK:ssa opettaa, ks.
http://matta.hut.fi/matta/delta/deltal2/index.html
yliopistotasonko tehtävä?
Joo se yrite pitää olla Ax*e^x, eikä pelkkä A*e^x, kuten monisteessa on opetettu. Minusta tämä on juuri ilkeää koska näiden yhtälöiden ratkaiseminen vaatii joskus mukautuvuutta. Usein tuo pelkkä A*e^x toimii.
Amk tai yliopisto.
Lukion pitkässä matikassakaan ei taida olla tollasia...?
Kyllä tuolla yritteellä yhtälön pitäisi ratketa, jopa aika helpostikin.
Yritteen jälkeen yhtälö muuttuu muotoon A'' 2A'=1, josta jatketaan A.n ratkaisemista.
"Yritteen jälkeen yhtälö muuttuu muotoon A'' 2A'=1, josta jatketaan A.n ratkaisemista"
Josta tulee 0 2*0 = 1
mikä on tietysti epätosi. Eli yrite ei toimi
A ratkeaa tuosta yksinkertaisesti kahdella suoralla integroinnilla (ensin A' ja sitten A)
ja tulokseksi pitäisi tulla A = C1*e^(-2x)-1/4-C2/2 x/2
"A ratkeaa tuosta yksinkertaisesti kahdella suoralla integroinnilla (ensin A' ja sitten A)
ja ..."
Minultakin meni nyt kyllä vähän ohi, mistä tämä koko A-härdelli ilmestyi.
Alkuperäinen yhtälöhän oli kaikessa yksinkertaisuudessaan hyvin suoraviivainen ratkaista, kunhan yrite oli oikea:
y'' - y = e^x
Homogeeniyhtälö: y'' - y = 0 y = c0 e^x c1 e^(-x)
Yrite y = Axe^x: 2Ae^x = e^x A = 1/2
=> y = c0*e^x c1*e^(-x) (1/2)x*e^x
"tulokseksi pitäisi tulla A = C1*e^(-2x)-1/4-C2/2 x/2"
Minä en kyllä saa siitä tuollaista vääntämälläkään.
Alkuperäinen kysymys oli ratkeaako yhtälö y''-y=e^x, yritteellä A*e^x.
No sieltä se mystinen A tulee, ja kun se ratkaistaan, ja siihen ympätään sitten kerroin e^x, niin saadaan alkuperäisen yhtälön ratkaisu.
Jos halutaan yksittäisratkaisu, niin vakiot saa irti alkuehtojen mukaan, ja ratkaisuksi sain em. reunaehdoilla y = 1/2(x*e^x-sinh(x)).
En ole täysin selvillä kuinka nykyään opetetaan yhtälöiden ratkaisua, enkä muuten aiemmastakaan, ja rutiinini saattaa olla hieman kehittymätöntä tai epäortodoksista, ja voi olla, että terminologiakaan ei ole täysin hallussani (sivistymättömyyttään on vaikea salata).
Tässä tapauksessa olen käsittänyt, että A on yksinkertaisesti joku tuntematon x.n funktio, ja ratkaisusta muodostuu, kuten esitin, sangen yksinkertainen.
Mikäli jotain muuta oli tavoitteena, niin pahoittelen aiheuttamaani sekaannusta.
Vastineestasi päätellen taidamme lähteä ratkaisun hakuun hieman eri tavalla, ja ilmeisesti termi "yrite" ei omassa sanavarastossani merkitse samaa kuin tässä haetaan.
"Tässä tapauksessa olen käsittänyt, että A on yksinkertaisesti joku tuntematon x.n funktio"
Okei, tämä muuttaa asian.
Jos tarkastellaan yhtälöä p(x)y'' q(x)y' r(x)y = f(x), niin minulle on opetettu tällaisen ratkaiseminen siten, että ensin ratkaistaan homogeeniyhtälö p(x)y'' q(x)y' r(x)y = 0 y = h(x).
Tämän jälkeen katsottaan taulukosta¹ epähomogeeniosaan f(x) sopiva yritefunktio y0(x), ja koetetaan löytää jokin yksittäisratkaisu sijoittamalla y := y0. Yritefunktio sisältää aina jotain vakioita, joita useimmiten merkataan A, B, C, ... (tässäkin tehtävässä siis oletin, että A on vakio).
Esim. tehtävässä y'' - y = e^x epähomogeeniosa on e^x, ja tällaiselle yritefunktio piti muistaakseni olla y0 = A*x*e^x. Kun lasketaan y0'' ja sijoitetaan alkup. yhtälöön, saadaan vakio A ratkaistua, ja näin selville yhtälön yksittäisratkaisu.
Koko ratkaisu on siis y(x) = h(x) y0(x).
¹ Jos ei taulukkoa ole eikä yritteitä muista ulkoa, täytyy käyttää vakion variointia tai muuta hankalampaa keinoa yksittäisratkaisun löytämiseksi.
"ilmeisesti termi 'yrite' ei omassa sanavarastossani merkitse samaa kuin tässä haetaan"
Sitä tunnutaan kyllä nykyään käytettävän vähän joka paikassa, mutta ainakin lukiossa kaikki matikanopettajat käyttivät sitä juuri tuosta yllä esitetystä yritefunktiosta. Eikä nyt kyllä tule mieleen, että TKK:llakaan olisi ko. funktiosta mitään muuta nimeä käytetty.