Miten ratkaistaan x seuraavasta yhtälöstä:
x kertaa neliöjuuri x on yhtä kuin 27 kahdeksasosaa.
Yhtälön toiselle puolelle saadaan x potenssiin kolme kahdesosaa eli neliöjuuri luvusta x potenssiin kolme?
Kiitos vastauksesta!
x kertaa neliöjuuri x on yhtä kuin 27 kahdeksasosaa.
Yhtälön toiselle puolelle saadaan x potenssiin kolme kahdesosaa eli neliöjuuri luvusta x potenssiin kolme?
Kiitos vastauksesta!
Vastaukset 15
Vanhimmat
korota neliöön ja ota kuutiojuuri
Eli saadaan yhtälö: x kolmanteen on yhtä kuin 27/8 toiseen, otetaan kuutiojuuri luvusta 9/4 ja saadaan vastaukseksi 2,25.
X * SQRT(X) = 27/8 näinkö?
Jos kyllä niin Neliöön ->
X^2*X=27^2/64 >
X^3=27^2/64 |ja tästä kuutiojuuri
Kyllä.
Siis kuutiojuuri otetaan luvun 27/8 neliöstä (josta sievennettynä saadaan 3/2 kertaa 3/2 on yhtä kuin 9/4). Vastaus on siis 2,25.
x^(2/3) = 27/8 = ( 3/2)^3
x^2 = (x^(2/3))^3 = (3/2)^9 joten x = (3/2)^(9/2) = 6,20027
Tark. 6,20027^0,66667 = 3,375020 ja 27/8 = 3,375.
Ettepä väärin vastanneet vaivautuneet edes laskuanne tarkastamaan numeerisesti.
Ohmam
Höpöstelin näin aamutuimaan. Yhtälöhän olikin x^(3/2) = (3/2)^3 joten x^3 = (3/2)^6 = (9/4)^3 joten x = 9/4 eli juuri tuo 2,25.
Sori sekoilustani!
Ohman
Hetken asiaa ihmeteltyäni klikkasin laskin-ohjelmaan funktiolaskin-valinnan, ja kun näpyttelin (27/8) ^(2/3), laskin antoi tulokseksi 2,25.
Olisiko päässälaskulla saatu sama tulos? 9 per 4 kyllä.
Päässä esim. näin: x^(3/2) = (3/2)^3 joten x = (( 3/2)^3)^(2/3) = (3/2)^2= 9/4.
Ohman
Tehtävä erikoinen siinä mielessä, että tuo 3/2 pyörii, noin päin tai käänteislukuna, eri paikoissa.
(3/2)^3^(2/3) voidaan sieventää muotoon (3/2)^2, ja saadaan 9/4.
Tämän tehtävän ratkaiseminen perustuu ihan selkeästi potenssilaskun yleisesti tunnettuihin kaavoihin.
(a*b)^x = a^x * b^x
ja siis (abc)^x = (ab)^x * c^x = a^x * b^x * c^x jne.(Ketrolaskun liitäntälaki)
a^x * a^y = a^(x y) ja siis a^(x1) * a^(x2)*...*a^(xn) = a^(x1 x2 ... xn). (seuraa yhteenlaskun ja kertolaskun liitäntälaeista)
a^0 = 1
Joten 1 = a^0 = a^(1 - 1) = a^1 * a^(-1) = a* a^(-1) ja siis a^(-1) = 1/a.
(a^x)^y = a^(xy) joten a^(-x) = a^(x * (-1)) = ( a^x)^(- 1) = 1/ a^x.
Kun eksponentti on rationaaliluku 1/n on a^(1/n) = n:s juuri a:sta (n positiivinen kokonaisluku). Siis esim. sqrt(a) = a^(1/2). Tämä näkyy siitä että (a^(1/n))^n = a(n* 1/n) = a^1 = a
a^(x - y) = a^(x (-y)) = a^x * a^(-y) = a^x * (1/a^y) = a^x/a^y . Tämä seuraa edellä jo esitetystä.
Näin siis esim. ( (3/2)^3)^(2/3) = (3/2)^(3 * 2/3) =(3/2) ^2
Kun koululainen vaivautuu ymmärtämään tuon edellä esitetyn niin kaikki tuollaiset potenssilaskut ovat sen jälkeen "leikin tekoa".
Edellä olevat kaavat pätevät kun a > 0 ja b > 0. Negatiiviselle kantaluvulle a ovat tietenkin esim. kokonaislukupotenssit määriteltyjä mutta potenssit eivät ole määritellyt jokaiselle reaalieksponentille x vaan tähän tarvitaan kompleksilukuja
.Erilaisia erikoistapauksia (a = 0) en nyt ryhdy tässä jahkailemaan ja sekoittamaan niillä selvää asiaa. Oli tarkoitus vain kertoa koululaisille potenssien laskusäännöistä eikä ryhtyä juurta jaksaen määrittelemään eksponenttifunktiota a^x.
Ohman
Ajattelin juuri äskettäin samaa, että eihän x potenssiin jotain -muotoista yhtälöä tarvitse välttämättä logaritmien kautta ratkaista, kun on potenssilaskujen kaavoja. Mutta mistä johtuu, että usein on taipumuksena ollut unohtaa tuo ero, että
- kertolaskussa kun on saman kantaluvun eri potensseja tekijöinä, esim. (2^3) * (2^4) niin tämä kyllä voidaan laskea yhteenlaskulla helposti 2^7, mutta
- silloin kun potensseja on ketjutettu samalle kantaluvulle useampia, voidaan käyttää kertolaskua, esim. 2^3^4 = 2^12.
Toisaalta sama asia tuntuu helpolta logaritmien kaavojen puolella. Logaritmeilla kertolasku muunnetaan yhteenlaskuksi, ja muunnetaan potenssiin korotus kertolaskuksi. Mistäköhän johtuu, että saman asian muistaminen potenssilaskun puolella olisi jotenkin vaikeampi, tai on tupannut unohtumaan? Johtuuko vain siitä kokemuksesta, että on logaritmeilla ehkä laskettu tämän tyyppisiä asioita enemmän, ja sitten kun potenssilaskulla tekee vastaavaa, saattaa joutua ajattelemaan - ehkä kakkosen potenssien kautta - että ainiin, mikäs se kaava olikaan, että näinhän tämä menee helpostikin, vaikka onkin potenssilaskua. Ikään kuin joutuisi keksimään samaa ruutia uudestaan. Toisaalta mainiota, että asian voi päätellä, siinä missä kaava olisi unohtunut, tai lähellä unohtumista, tai ei lähimuistissa tuoreesti.
2^3^4 = (2^3)^4 = 2^(3*4) = 2^12.
Mutta 2^(3^4) = 2^81.
Ohman
x * sqrt x = 27/8
voidaan kirjoittaa yhtälön ratkaisussa muotoon
x ^ 3/2 = 27/8
Korotetaan molemmat puolet 2/3- potenssiin
x = [ 27^(2/3)] / [ 8^(2/3)]
Huom! 27 = 3^3 ja 8 = 2^3
x = [ 3^(3 * 2/3)] / [ 2^(3 * 2/3)] = 3^2 / 2^2 = 9/4 = 2,25
Tässä kannattaa ottaa uusi muuttuja t=sqrt(x).
Silloin probleema on t^2*t=27/8, eli t^3=27/8, josta t=3/2 , joten x=9/4