Laatikossa on 6 punaista, 8 keltaista ja 2 mustaa palloa. Laatikosta nostetaan
umpimähkään yksi pallo. Tämä pallo laitetaan takaisin laatikkoon, jonka jälkeen
laatikosta nostetaan toinen pallo. Mikä on todennäköisyys sille, että molemmat
nostetut pallot ovat
a) Punaisia
b) Keltaisia
c) Mustia
d) Samanvärisiä?
voiko joku aittaa ? :)
umpimähkään yksi pallo. Tämä pallo laitetaan takaisin laatikkoon, jonka jälkeen
laatikosta nostetaan toinen pallo. Mikä on todennäköisyys sille, että molemmat
nostetut pallot ovat
a) Punaisia
b) Keltaisia
c) Mustia
d) Samanvärisiä?
voiko joku aittaa ? :)
Vastaukset 10
Vanhimmat
a)+6/16+x+6/16=+36/256+->+9/64+->14,06%
Todennäköisyyteen+ei+vaikuta+pallo+mikä+nostetaan+ja+laitetaan+takaisin.
Tossa on kyllä sikäli tolkkua, että tehtävässä nimenomaisesti sanotaan, että laatikosta nostetaan toinen pallo. Sama pallo kuin eka kerralla ei siis käy.
Miten toisessa nostossa voidaan olla varmoja ettei nostettu pallo ollut sama kuin ensimmäinen?
Järjestyksessä toinen.
Oletetaan, että tehtävä on oikein sanottu eli että toisella kerralla ei voida nostaa ensimmäisellä kerralla nostettua.
P(p) = 6/16, P(k) = 8/16 ja P(m) = 2/16
P(p1,p2) = 6/16 * 5/15 = 1/8
P(k1,k2) = 8/16 * 7/15 = 7/30
P(m1,m2) = 2/16 * 1/15 = 1/120
P(pallot samanvärisiä) on noiden edellisten summa eli 11/30.
Ohman
Mutta tehtävä noin ajatellen on vähän kummallisesti annettu. Eihän tilanne muuttuisi mihinkään vaikka sitä ensin nostettua palloa ei pantaisikaan takaisin. Samat todennäköisyydet saataisiin.
Jos taas mikä tahansa pallo on molemmilla kerroilla nostettavissa, P(p1,p2) = (6/16)^2 ,
P(k1,k2) = (8/16)^2 ja P(m1,m2) = (2/16)^2.
Mikä lie tehtävän ajatus?
Ohman
Kyllä kai se on järkevästi ajatellen selvää, että tuo "toinen" viittaa vain järjestyksessä toiseen palloon (eikä merkitykseen jokin muu). Jos ensin nostettua ei saisi nostaa uudelleen, ei sitä pantaisi lainkaan takaisin laatikkoon.
Tehtävässä sanotaan selvästi, että pallo laitetaan takaisin, eli se selvästi voidaan ottaa uudestaan. Ei pidä lukea sanaan "toinen" omia merkityksiä.
Kysymystä voisi tarkentaa: nostetaanko toinenkin pallo 'umpimähkään'? Toisin sanoen onko kummassakin nostossa jokaisella pallolla yhtä suuri todennäköisyys tulla nostetuksi (tasajakauma)?
Se, että sama pallo voi tulla nostetuksi ensimmäisessä ja toisessa nostossa on tietenkin selvää. Sehän on juuri tuon "takaisin laittamisen" idea.
Vastaus taisi jo tulla tuolla ihan oikein, mutta tässä vielä varmennukseksi:
Oletetaan siis ne tasajakaumat kummallekin nostolle. Tällöin nostot ovat toisistaan riippumattomia.
a)
P(molemmat punaisia) = P(1. on punainen) * P(2. on punainen) = 6/16 * 6/16 = 9/64
b)
P(molemmat keltaisia) = P(1. on keltainen) * P(2. on keltainen) = 8/16 * 8/16 = 1/4
c)
P(molemmat mustia) = P(1. on musta) * P(2. on musta) = 2/16 * 2/16 = 1/64
d)
P(samanväriset)
= P(molemmat punaisia) P(molemmat keltaisia) P(molemmat mustia)
= 9/64 1/4 1/64
= 13/32