Kuinka lasketaan arctan?

sqrt(3)/3= 1/sqrt(3) = ½/(sqrt(3)/2)= sin(30)/cos(30)=tan(30)

tan(arctan(sqrt(3)/3)) = 1/sqrt(3) . Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 1 ja sqrt(3) ja hypotenuusa on 2. 1-pituista kateettia vastassa olevan kulman sini on 1/2 joten kulma on 30 astetta eli pii/6.Tämän saman kulman tan on 1/sqrt(3) kuten pitikin.

Ohman

Mitä on arctan (√3 / 3)? Toisin sanoen, minkä kulman tangentti on √3 / 3? Arcustangenttihan on tangentin käänteisfunktio.

Likiarvoja arcustangentille voidaan kyllä laskea Taylorin sarjallakin, mutta tässä nimenomaisessa erikoistapauksessa sitä luultavasti ei ole ajettu takaa. Kuten täällä on jo mainittukin, kyseessä sattuu olemaan ns. koululaisen kolmio eli muistikolmio, mikä olisi vain pitänyt huomata. Toisin sanoen sellainen suorakulmainen kolmio, jossa toinen kateetti on puolet hypotenuusasta. Sellainen on samalla puolikas tasasivuisesta kolmiosta.
Sen kulmat ovat 30, 60 ja 90 astetta, mikä seuraa suoraan siitä, että tasasivuisen kolmion kulmat ovat 60 astetta. Ja Pythagoraan lauseella voidaan laskea, että se toinen kateetti (tai siis sen tasasivuisen kolmion korkeusjana, joka jakaa sen kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi), on √3/2 kertaa kolmion hypotenuusa. Kolmion sivujen suhteet ovat siis 1:√3:2, missä viimeksi mainittu on hypotenuusa.

Arcusfunktioiden arvot tarkoittavat kulmia, mutta ne ilmoitetaan yleensä radiaaneina, ei asteina. Esimerkiksi 30 astetta on π /6 radiaania. Edellä sanotusta seuraa, että tämän kulman tangentti (vastakkainen kateetti jaettuna viereisellä) on 1 / √3, tai lavennettuna √3 / 3. Eli kääntäen, tämän juurilausekkeen arcustangentti on π /6.

Tämäntapainen oikotie on tietysti käytettävissä vain muutamissa erikoistapauksissa eli lähinnä silloin, kun kyseessä oleva kolmio on joko tuo ns. koululaisen kolmio tai sitten neliön puolikas eli tasasivuinen suorakulmainen kolmio, jossa kulmat ovat 45, 45 ja 60 astetta eli radiaaneina π/4, π/4 ja π/2, ja sivujen suhteet 1:1:√2.

P.S. Tämä on tietysti sivuseikka, mutta joku haluaa käyttää juurimerkkiä √ ja pii-kirjainta π uusissa viesteissäsi noiden merkintöjen sqrt() ja pii sijasta, niin ne copy-pastata ne tuosta edellisestä tai vaikkapa tästä viestistä. Tästä ne joka tapauksessa löytyvät. Tai miksi ei vaikkapa tallentaa omalle koneellesi pientä tekstitiedostoa, joka sisältää vain ne ja ehkä muutaman muun matemaattisen erikoismerkin, ja josta ne sitten voi copy/pastata haluttaessa minne tahansa.

Jos tämä tehtävä ei olisikaan nimenomaan koulupojan kolmiosta, niin tähän tulisi hiukka enemmänkin vastauksia, vaikkei otettaisi jaksokaan mukaan. Mutta annetaan olla.