Tuossa kun pläräsin lukion vanhaa kirjaa Induktion osalta, niin siellä tuli vastaan pari kolmiolla varustettua induktiotodistustehtävää. Aika vaikeita mielestäni lukion toisluokkalaisille.
Niihin ei mitään vastauksia ollut, ja jotenkin ne sain klaarattua , siis tässä:
1. Osoita , että n:n ensimmäisen luonnollisen luvun kuutioiden summa on sama kuin näiden lukujen summan neliö.
2. Tutki, millä arvoilla n € N on voimassa epäyhtälö n^2 < 2^n
Niihin ei mitään vastauksia ollut, ja jotenkin ne sain klaarattua , siis tässä:
1. Osoita , että n:n ensimmäisen luonnollisen luvun kuutioiden summa on sama kuin näiden lukujen summan neliö.
2. Tutki, millä arvoilla n € N on voimassa epäyhtälö n^2 < 2^n
Vastaukset 3
Vanhimmat
Minusta nuo ovat ihan helppoja lukiolaiselle. Tai sitten olin vaan niin hyvä lukiossa.
1. https://proofwiki.org/wiki/Sum_of_Sequence_of_Cubes/Proof_by_Induction
2. https://math.stackexchange.com/questions/319913/proof-that-n2-2n
Tuohon ekaan ei ole kyllä mitään lisäämistä, mutta tuohon jälkimmäiseen kyllä.
Kakkosessahan käsketään tutkia, eli luonnollinen luku kerrallaan ykkösestä lähtien kokeillaan toteutuuko epäyhtälö. Ykkösellä toteutuu, mutta kakkosella , kolmosella ja nelosella ei. Sitten taas vitosesta ylöspäin vaikuttaa siltä, että epäyhtälö toteutuu, mutta se juuri on induktiolla osoitettava. Minä tämän tein niin kuin se lukiossa olisi tehty, eli tutkin ja tutkin jopa lukusuoralla. En todistanut, enkä osoittanut mitään, mutta tuossa se tulos on:
http://aijaa.com/LCBiJ6
Tuo tokan tehtävän induktio kun on tuolla pienen etsimisen päässä ja tämä on suomenkielinen palsta, niin kirjaan nyt oman todistusen (tai yrityksen, toivottavasti menee oikein : )) tähän:
Ykkönen on tosiaan eräs erikoisratkaisu (ja nolla, jos se luonnoliseksi luetaan), mutta viitosesta (joka toimii) eteen päin pitäisi väite siis todistaa induktiolla todeksi.
Oletetaan, että n^2 < 2^n.
Nyt (n 1)^2 = n^2 2n 1 <_{i.o} 2^n 2n 1
Tässä lausekkeessa esiintyvä 2n 1 on pienempää kuin 2^n, kun n>=3. Tämän voi todistaa myös induktiolla (induktioaskel siinä: (2^(n 1) =2*2^n > 2*(2n 1) =2n 1 2n 1 > 2n 3 = 2(n 1) 1).
Palataksemme alkuperäiseen todistukseen, saamme, että
2^n 2n 1 < 2^n 2^n = 2^(n 1) ja väite on induktiolla todistettu.