Trigonometrisen funktion jakson pituus

Funktion f jaksonpituus on (pienin positiivinen) luku a, jolle f(x a) = f(x) kaikilla x.

Sin(x):n ja cos(x) jaksonpituudet ovat 2*pii, tan(x):n pii.

Nollasta eroava vakiokerroin ei vaikuta jakson pituuteen, sillä k*f(x a) = k*f(x) täsmälleen silloin kun f(x a) = f(x), (k voidaan jakaa pois).


LAUSE:

Jos a on funktion f jakson pituus ja b!=0 on vakio, niin funktion g(x) = f(bx) jakson pituus on a/b.

Tämä nähdään siitä, että
g(x a/b) = f(b(x a/b)) = f(bx a) = f(bx) = g(x),
eli a/b on ainakin sellainen luku, joka toimii. Jos olisi pienempi toimiva c
eli olisi c<a/b ja g(x c) = g(x) kaikilla x, niin
f(x cb) = g( 1/b*(x cb)) = g(1/b*x c) = g(1/b*x) = f(x) kaikilla x,
eli luku cb olisi f:n jaksonpituus, mutta koska c<a/b, niin cb < a, mikä on ristiriita sillä a oli f:n jaksonpituus.

Tuossa esimerkissäsi g(x) = 3sin(2x) on siis niin, että kerroin 3 ei vaikuta jakson pituuteen eli g:n jaksonpituus on sama kuin funktion h(x) = sin(2x). Edelleen vakio b=2 vaikuttaa siten, että h:n jakson pituus on sinin jakson pituus jaettuna 2:lla (ks. edellä johdettu lause, b=2). Saadaan siis jaksonpituudeksi pii.

"Onko sinillä, kosinilla ja tangentilla kaikilla eri tapa?"
Ei oikeastaan. Edellä olevaa lausetta (muuttujan lineaarisesta muunnoksesta) voi soveltaa kaikille. Täytyy vain muistaa että tangentilla jaksonpituus on pii, kun taas sinillä ja kosinilla se on kakspii.

Kiitos tästä! Aika tyhjentävä vastaus ja hyvä niin.