Outo integraali

tuosta ota nyt oikein selvää... mutta jos näin: mitä on int(x xy(3x^2 y^2)dx

→ int(x 3x^3y xy^3)dx = ½x^2 (3yx^4)/4 (y^3x^2)/2 C = ½x^2(1 y^3) (3yx^2)/2) C

eli integroitu x:n suhteen

Ilmeisestikin jatkuvilla funktioilla tämä menee helpommin kuin ajattelin, ainakin netistä löytyneen tekstin mukaan.
\int x xy d(x^3 y^2) -->
\int x d(x^3 y^2) \int xy d(x^3 y^2) -->
\int x d(x^3) \int x d(y^2) \int xy d(x^3) \int xy d(y^2) -->
\int 3x^2*x dx \int 0*x dy \int 2x^2xy dx \int 2y*xy dy
ja loppu suoraan riemann-tyylisesti.

Katso täältä miten Stieltjes-integraali on määritelty (useampi ulotteinen on kappaleessa 4):

http://www.maths.lth.se/matstat/kurser/mas213/riemannstieltjes.pdf

Koska tuossa tuo funktio F(x, y) = x^3 y^2 muuntaa aina välin [a1, b1]x[a2, b2] alan nollaksi:

F(b1, b2) - F(a1, b2) - F(b1, a2) F(a1, a2) = 0,

niin integraalin arvo on nolla, riippumatta joukosta, jonka yli integroidaan (ainahan taidetaan tarvita se joukko, jonka yli integroidaan; vai voisiko useampi ulotteisessakin tapauksessa määrittää jonkinsortin integraalifunktion, joka on integraali jonkun välin yli, jonka yksi nurkka on kiinnitetty ja sivun pituudet ovat muuttujia, hmmm....)

Tuon, että integraali on 0 näkee myös tuolla linkissä olevan lemman 6 (s. 13) avulla, sillä

dF/(dx dy) = 0.