Eräs verkko-operaattori on havainnut, että sen asiakkaista 70% maksaa tietyn kuukauden maksunsa kokonaisuudessaan. Lisäksi on havaittu, että 95% niistä, jotka maksavat tietyn kuukauden laskunsa kokonaisuudessaan, maksavat myös seuraavan kuukauden laskunsa kokonaisuudessaan. Vastaavasti vain 10% asiakkaista, jotka eivät ole maksaneet koko laskua tiettynä kuukautena, maksaa koko seuraavan kuukauden laskun. Kun nämä prosenttiosuudet tulkitaan todennäköisyyksinä, laske seuraavat todennäköisyydet:
a) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä molemmat maksavat kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan?
b) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen heistä maksaa kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan.
c) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa kaksi peräkkäistä kuukausimaksuaan kokonaisuudessaan.
d) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas ei maksa kumpaakaan peräkkäisistä kuukausimaksuistaan kokonaisuudessaan.
e) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa täsmälleen yhden kahdesta peräkkäisestä kuukausimaksustaan kokonaisuudessaan.
Todennäköisyyslaskenta tehtävä
6
303
Vastaukset
- lisätehtävä
Oletetaan muutusprosenttien 95 ja 10 pysyvän samana. Kuinka suuri osa asiakkaista maksaa tietyn kuukauden maksunsa kokonaisuudessaan viiden vuoden kuluttua?
- Kanootti3
a) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä molemmat maksavat kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan?
Oletataan, että tapahtumat ovat riippumattomat, jollon tn on tulo
0.7 * 0.7 = 0.49.
b) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen heistä maksaa kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan.
1 - P(kumpikaan ei maksa) = 1-0.3^2 = 0.91
c) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa kaksi peräkkäistä kuukausimaksuaan kokonaisuudessaan.
Nyt asiakkaan toinen maksaminen ei ole riippumaton ensimmäisestä vaan, kuten on annettu, toisen kerran maksamistodennäköisyys on 0.95, jos maksoi ekan. Siis
0.7*0.95 = 0,665
d) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas ei maksa kumpaakaan peräkkäisistä kuukausimaksuistaan kokonaisuudessaan.
Ehdollistetaan tapahtuma "maksaa tokan" sillä maksaako ensimmäisen maksun. Kokonaistodennäköisyyden kaavalla:
P(ei maksa tokaa) = P(maksaa ekan)*P(ei maksa tokaa | maksaa ekan) P(ei maksa ekaa)*P(ei maksa tokaa | ei maksa ekaa)
= 0.7*0.05 0.3*0.9 = 0,305
Nyt kysytty tn on
0.3 * 0.305 = 0,0915
e) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa täsmälleen yhden kahdesta peräkkäisestä kuukausimaksustaan kokonaisuudessaan.
Kuten d-kohdassa lasketaan
P(satunnaisesti valittu maksaa molemmat) = 0.7*(0.7*0.95 0.3*0.1) = 0.4865.
Täten
P(maksaa tasan yhden) = 1 - P(ei maksa kumpaakaan) - P(maksaa molemmat)
= 1 - 0.0915 - 0.4865 = 0,422.
Lisätehtävä) Oletetaan muutusprosenttien 95 ja 10 pysyvän samana. Kuinka suuri osa asiakkaista maksaa tietyn kuukauden maksunsa kokonaisuudessaan viiden vuoden kuluttua?
Tätä mallinnetaan Markovin ketjulla, jossa tilat on "Maksaa" ja "Ei maksa". Sillä on matriisi
A =
0.95 0.10
0.05 0.90
Tarkat todennäköisyydet olisivat A^(5*12) [0.7, 0.3], mutta noin suuren potenssin hyvin tarkat likiarvot saadaan A:n ominaisarvoa 1 vastaavasta (yhteen summautuvaksi skaalatusta) ominaisvektorista [2/3, 1/3 ]. Tämä johtuu siitä, että tämä Markovin ketju on sellaista sorttia, jossa jokainen lähtöjakauma (nyt [0.7, 0.3]) lähenee tuota tasapainoa joka vastaa ominaisarvon 1 antamaa jakaumaa.
Siis 2/3 maksaa ja 1/3 ei maksa viiden vuoden päästä.
Jos Markovin ketjut eivät ole tuttuja, niin netistä löytyy kyllä tietoa. Periaatteessa idea on se, että tilojen välillä on siirtymätodennäköisyydet ja joka kierros siirretään "jakauman massaa" näiden lukuarvojen mukaisesti. Toinen tapa ajatella on, että jokin yksi "liikkuja" liikkuu tilojen muodostamassa verkossa ja siirtyy tilasta toiseen siirtymätodennäköisyyksien mukaan. Tuossa laskun maksu tapauksessa se olisi asiakas ja se kummassa tilassa hän on merkitsee maksaako hän sen kuun laskun (kokonaisuudessaan) vai ei. Kysytty "osa asiakkaista, jotka maksavat..." tarkoittaa todennäköisyyttä tälle yhdelle "liikkujalle" olla "Maksaa" tilassa. Toisaalta tuo ensimmäinen näkökanta "jakauman massasta" tarkoittaa suoraan sitä asiakkaiden osaa.- Kanootti3
d meni väärin, sillä jos ei maksanut ekaa, niin tn että ei maksa toista on 0.9. Aloin jo sitä yleisen siirtymän tn:iä miettimään. Sille ekalle kuullehan tiedettiin maksamis todennäköisyydeksi 0.7.
Vastaus: 0.3*0.9 = 0.27.
Siten myös e)-kohta onkin (P(maksaa molemmat) laskettu c:ssä, se meni oikein)
1-0.27-0.665 = 0.065.
- Ohman
P(k) = maksaa kuukauden koko maksun = 0,7. P(~k) = 0,3.
P(s) = maksaa seuraavan kuun koko maksun
P(s l k) = 0,95 ja P(s l ~k) = 0,1.
a) P(k) ^2 = 0,49
b) P(~k) = 0,3. Kysytty tn on 1 - P(~k)^2 = 1 - 0,09 = 0,91
c) kysytty tn on P( k & s) = P(k) * P(s l k) = 0,7 * 0,95 = 0,665
d) P(~k & ~s) = P(~k) * P(~s l ~k) = 0,3 * 0,9 = 0,27
e) P(~k & s) P (k & ~s) = P( ~k) * P(s l ~k) P(k) * P(~s l k) = 0,3 * 0,1 0,7 * 0,05 = 0,03 0,035 = 0,065
Ohman- Ohman
Näkyi Kanootti 3 jo vastanneen mutta enpä nähnyt sitä omaa vastaustani kirjoittaessani. Ja onhan meillä nyt h i u k a n eri tapa esittää asia.
Ohman
- Avuton1234
Kiitokset kaikille!
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Elämä valuu ohi ilman merkitystä
Olen 5-kymppinen korkeasti koulutettu hyvässä ja vaativassa työssä oleva mies. Erosin pitkästä parisuhteesta pari vuotta2774178Martina julkaisi romanttisia kuvia kihlajaisista
Ihana pari. Paljon onnea ja rakkautta heille 💞2721371Ilo, joka nousee silmiisi saakka
kun katseemme kohtaavat. Olet energinen, aito, ihana. Välillä tuijotat suoraan silmiini - enkä hämmenny, katson takaisin651315Gekkosessa hyvä juttu Sofian Dubai "töistä"
"Vielä tammikuussa Belórf lupaili aloittavansa jälleen verkkovalmennukset, mutta tämä projekti näyttää kuihtuneen kaikes1011114- 841106
eerikäinen novassa sanoi ei kukaan enää aja manuaalivaihteilla
meillä on 3 autoa talissa ja kaikissa manuaalilaatikot, on meillä vielä tämmöiset vaikka toisin puhutaan.981048En oikeasti
Tiennyt että sinulla on ollut vaikeuksia ja huonoja aikoja. Olen oikeasti pahoillani, ja olisin myös toiminut eritavoin1241018Jokaisella on omat syntinsä
Minä olisin niin mielelläni sinun. Ehkä joskus viittasitkin siihen. Olet nainen ajatuksissani jatkuvasti ja taidat tietä57970- 169883
Palsta sekosi lopullisesti?
Taidan mennä päikkäreille. Oliko hän nyt muka oikeasti äsken täällä ja kirjoitti, että täytyy unohtaa? Todistakaa se. Ki15851