Eräs verkko-operaattori on havainnut, että sen asiakkaista 70% maksaa tietyn kuukauden maksunsa kokonaisuudessaan. Lisäksi on havaittu, että 95% niistä, jotka maksavat tietyn kuukauden laskunsa kokonaisuudessaan, maksavat myös seuraavan kuukauden laskunsa kokonaisuudessaan. Vastaavasti vain 10% asiakkaista, jotka eivät ole maksaneet koko laskua tiettynä kuukautena, maksaa koko seuraavan kuukauden laskun. Kun nämä prosenttiosuudet tulkitaan todennäköisyyksinä, laske seuraavat todennäköisyydet:
a) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä molemmat maksavat kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan?
b) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen heistä maksaa kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan.
c) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa kaksi peräkkäistä kuukausimaksuaan kokonaisuudessaan.
d) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas ei maksa kumpaakaan peräkkäisistä kuukausimaksuistaan kokonaisuudessaan.
e) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa täsmälleen yhden kahdesta peräkkäisestä kuukausimaksustaan kokonaisuudessaan.
a) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä molemmat maksavat kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan?
b) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen heistä maksaa kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan.
c) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa kaksi peräkkäistä kuukausimaksuaan kokonaisuudessaan.
d) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas ei maksa kumpaakaan peräkkäisistä kuukausimaksuistaan kokonaisuudessaan.
e) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa täsmälleen yhden kahdesta peräkkäisestä kuukausimaksustaan kokonaisuudessaan.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Oletetaan muutusprosenttien 95 ja 10 pysyvän samana. Kuinka suuri osa asiakkaista maksaa tietyn kuukauden maksunsa kokonaisuudessaan viiden vuoden kuluttua?
a) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä molemmat maksavat kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan?
Oletataan, että tapahtumat ovat riippumattomat, jollon tn on tulo
0.7 * 0.7 = 0.49.
b) Valitaan kaksi asiakasta satunnaisesti. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen heistä maksaa kuukausimaksunsa kokonaisuudessaan.
1 - P(kumpikaan ei maksa) = 1-0.3^2 = 0.91
c) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa kaksi peräkkäistä kuukausimaksuaan kokonaisuudessaan.
Nyt asiakkaan toinen maksaminen ei ole riippumaton ensimmäisestä vaan, kuten on annettu, toisen kerran maksamistodennäköisyys on 0.95, jos maksoi ekan. Siis
0.7*0.95 = 0,665
d) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas ei maksa kumpaakaan peräkkäisistä kuukausimaksuistaan kokonaisuudessaan.
Ehdollistetaan tapahtuma "maksaa tokan" sillä maksaako ensimmäisen maksun. Kokonaistodennäköisyyden kaavalla:
P(ei maksa tokaa) = P(maksaa ekan)*P(ei maksa tokaa | maksaa ekan) P(ei maksa ekaa)*P(ei maksa tokaa | ei maksa ekaa)
= 0.7*0.05 0.3*0.9 = 0,305
Nyt kysytty tn on
0.3 * 0.305 = 0,0915
e) Laske todennäköisyys, että satunnaisesti valittu asiakas maksaa täsmälleen yhden kahdesta peräkkäisestä kuukausimaksustaan kokonaisuudessaan.
Kuten d-kohdassa lasketaan
P(satunnaisesti valittu maksaa molemmat) = 0.7*(0.7*0.95 0.3*0.1) = 0.4865.
Täten
P(maksaa tasan yhden) = 1 - P(ei maksa kumpaakaan) - P(maksaa molemmat)
= 1 - 0.0915 - 0.4865 = 0,422.
Lisätehtävä) Oletetaan muutusprosenttien 95 ja 10 pysyvän samana. Kuinka suuri osa asiakkaista maksaa tietyn kuukauden maksunsa kokonaisuudessaan viiden vuoden kuluttua?
Tätä mallinnetaan Markovin ketjulla, jossa tilat on "Maksaa" ja "Ei maksa". Sillä on matriisi
A =
0.95 0.10
0.05 0.90
Tarkat todennäköisyydet olisivat A^(5*12) [0.7, 0.3], mutta noin suuren potenssin hyvin tarkat likiarvot saadaan A:n ominaisarvoa 1 vastaavasta (yhteen summautuvaksi skaalatusta) ominaisvektorista [2/3, 1/3 ]. Tämä johtuu siitä, että tämä Markovin ketju on sellaista sorttia, jossa jokainen lähtöjakauma (nyt [0.7, 0.3]) lähenee tuota tasapainoa joka vastaa ominaisarvon 1 antamaa jakaumaa.
Siis 2/3 maksaa ja 1/3 ei maksa viiden vuoden päästä.
Jos Markovin ketjut eivät ole tuttuja, niin netistä löytyy kyllä tietoa. Periaatteessa idea on se, että tilojen välillä on siirtymätodennäköisyydet ja joka kierros siirretään "jakauman massaa" näiden lukuarvojen mukaisesti. Toinen tapa ajatella on, että jokin yksi "liikkuja" liikkuu tilojen muodostamassa verkossa ja siirtyy tilasta toiseen siirtymätodennäköisyyksien mukaan. Tuossa laskun maksu tapauksessa se olisi asiakas ja se kummassa tilassa hän on merkitsee maksaako hän sen kuun laskun (kokonaisuudessaan) vai ei. Kysytty "osa asiakkaista, jotka maksavat..." tarkoittaa todennäköisyyttä tälle yhdelle "liikkujalle" olla "Maksaa" tilassa. Toisaalta tuo ensimmäinen näkökanta "jakauman massasta" tarkoittaa suoraan sitä asiakkaiden osaa.
d meni väärin, sillä jos ei maksanut ekaa, niin tn että ei maksa toista on 0.9. Aloin jo sitä yleisen siirtymän tn:iä miettimään. Sille ekalle kuullehan tiedettiin maksamis todennäköisyydeksi 0.7.
Vastaus: 0.3*0.9 = 0.27.
Siten myös e)-kohta onkin (P(maksaa molemmat) laskettu c:ssä, se meni oikein)
1-0.27-0.665 = 0.065.
P(k) = maksaa kuukauden koko maksun = 0,7. P(~k) = 0,3.
P(s) = maksaa seuraavan kuun koko maksun
P(s l k) = 0,95 ja P(s l ~k) = 0,1.
a) P(k) ^2 = 0,49
b) P(~k) = 0,3. Kysytty tn on 1 - P(~k)^2 = 1 - 0,09 = 0,91
c) kysytty tn on P( k & s) = P(k) * P(s l k) = 0,7 * 0,95 = 0,665
d) P(~k & ~s) = P(~k) * P(~s l ~k) = 0,3 * 0,9 = 0,27
e) P(~k & s) P (k & ~s) = P( ~k) * P(s l ~k) P(k) * P(~s l k) = 0,3 * 0,1 0,7 * 0,05 = 0,03 0,035 = 0,065
Ohman
Näkyi Kanootti 3 jo vastanneen mutta enpä nähnyt sitä omaa vastaustani kirjoittaessani. Ja onhan meillä nyt h i u k a n eri tapa esittää asia.
Ohman
Kiitokset kaikille!