Miten todistetaan, että kaikilla positiivisilla reaaliluvuilla toteutuu epäyhtälö
4(a b c)(a^2 b^2 c^2) => (a b c)^3 3(a^3 b^3 c^3)?
4(a b c)(a^2 b^2 c^2) => (a b c)^3 3(a^3 b^3 c^3)?
Epäyhtälön todistaminen?
Eikaivaikea
12348
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 12
Vanhimmat
Mielenkiintoista.
Kun kirjoitetaan tuo epäyhtälö muotoon
(a b c)(a^2 b^2 c^2) => (3/4)(a^3 b^3 c^3) (1/4)(a b c)^3,
saadaan esitys, joka sanallisesti tarkoittaa seuraavaa:
Lukujen summan ja niiden neliöiden summan tulon alaraja saadaan niiden kolmansien potenssien summan ja niiden summan kolmannen potenssin painotettuna keskiarvona.
(a b c) (4(a^2 b^2 c^2)- (a b c)^2) - 3(a^3 b^3 c^3)=
(a b c) (3a^2 3b^2 3 c^2 - 2 ab - 2 ac - 2bc ) - 3 (a^3 b^3 c^3)
3(ab^2 ac^2 ba^2 bc^2 ca^2 cb^2) - 2 a^2b - 2 a^2 c - 2 abc -2 a b^2 - 2 abc - 2b^2 c - 2 abc - 2 a c^2 - 2 b c^2 =
ab^2 ac^2 bc^2 c b^2 b a^2 c a^2 - 6 abc >= 0 sillä keskiarvoepäyhtälöstä seuraa, että
1/6 (ab^2 ac^2 bc^2 cb^2 ba^2 ca^2) >= (a^6 b^6 c^6) ^(1/6 = abc.
mot
Ohman
Jäi yhtäsuuruusmerkki = pois tuosta toisen rivin lopusta
Ohman
Ja viimeisellä rivillä p.o. (a^6 b^6 c^6) ^(1/6) = abc, jäi sulkumerkki pois .
Ohman
f(a,b,c)= 4(a b c)(a^2 b^2 c^2) - (a b c)^3 - 3(a^3 b^3 c^3) , a,b,c positiivisia
Funktio on muuttujien suhteen symmetrinen, joten riittää kun tutkitaan tapausta a≥b≥c
Funktion pienin mahdollinen arvo saavutetaan kun ensimmäinen termi on mahdollisimman pieni ja kaksi viimeistä termiä mahdollisimman suuria.
Koska c on noista pienin , laitetaan ensimmäiseen kaikkiin muuttujiin c, ja koska a on suurin laitetaan kahteen viimeiseen termiin kaikkiin muuttujiin a.
4(3c)(3c^2)-27a^3-3(3a^3)= 36c^3-36a^3
Funktion pienimmän arvon piti olla ≥0, joten 36c^3-36a^3≥0=>c≥a. Nyt kuitenkin a:n piti olla ≥b≥c, joten tuo toteutuu kun a=c, josta seuraa heti, että myös b=c.
Pienin arvo saavutetaan kun a=b=c, ja se on nolla, ja siitä taas seuraa, että alkuperäinen yhtälö pätee.
"pienimmän arvon piti olla >= 0". Mutta tämä juuri piti todistaa!
Olet todistanut että kun a=b=c niin 36 a^3 = 36 a^3 . (Sijoita a=b=c aloittajan epäyhtälön kummallekin piolelle.)
Ohman
Myönnän kyllä, että se on päin hel......ä, mutta sehän oli teoreettinen minimi ja kaikki funktion muut arvot ovat varmasti tuota suurempia. Tälle teoreettiselle minimille löytyi maksimikohta , jossa a=b=c , ja joka on väitteen mukaisesti ≥0.
Funktiolle voidaan hakea kriittinen piste derivoimalla funktio erikseen kaikkien kolmen muuttujan suhteen ja asettamalla derivaatat yhtäaikaa nolliksi. Kriittiseksi pisteeksi tulee tuo sama a=b=c. Koska kyse on polynomifunktiosta , niin kokeilemalla millä tahansa muilla a, b ja c (a≥b≥c) arvoilla , jos tulee funktiolle positiivinen arvo, niin väite on osoitettu oikeaksi.
f(3,2,1)= 4*(6*14)-6^3-(3*36)=336-18-108=210
(tätä ei enää tarvitse kommentoida, en minäkään)
Ei kai tarvitse kommentoida mutta kommentoin nyt keskustelun vuoksi. Oletit, että a >= b >= c ja tästä johdit tuloksen, että alkuperäinen lauseke f(a,b,c) >= 36 c^3 - 36 a^3. Mutta koska c <= a niin tuo minoranttilauseke on <= 0. Joten on vain todistettu, että f(a,b,c) >= eräs ei-positiivinen lauseke.
Minorantin suurin arvo , joka on 0, sattuu kyllä pisteessä a = c (jolloin myös b=a = c) mutta ei tästä seuraa etteikö jossain muussa pisteessä (a,b,c) voisi olla f(a,b,c) < 0.
Jos nyt jaksat derivoida tuon alkuperäisen ja tosiaankin johdettua että kriittinen piste on suoralla a = b = c niin pitäisi vielä näyttää, että
1) f saa minimiarvon tuolla suoralla eli että tuo kriittinen piste on tosiaan minimipiste
2) tämä minimiarvo, joka on f(a,a,a) = 0, on globaali minimi.
Ohman
Koska se oli nimenomaan teoreettinen minimi, niin kaikki muut funktion arvot ovat varmasti tätä suurempia. Nyt tällä teoreettisella minimillä on maksimiarvo = 0, joka saavutetetaan kun a=b=c. Kaikki muut funktion arvot ovat tietysti myös tätä teoreettisen minimin maksimiarvoakin suurempia ja siten ≥ 0.
Eli muuttujien arvoilla a=b=c saavutetaan funktion minimiarvo =0. Tämäkin riittää väitteen osoittamiseksi. Jos teoreettisen minimin maksimiarvo olisikin jäänyt negatiiviseksi, niin väite ei olisi pitänyt paikkaansa.
Et nyt näytä ymmärtävän, että kun f(a,b,c) >= 36(c^3 - a^3) ja tämä alaraja <= 0 ja 0 sjvs kun a = c, niin jossain pisteessä (a,b,c) voi olla f(a,b,c) < 0 kunhan vain samalla f(a,b,c) >= 36(c^3 - a^3).
En tiedä mitä tarkoitat "teoreettisella minimillä", minusta se on vain tuo minorantti 36(c^3 - a^3).
Eivät "kaikki muut funktion arvot ole tämän teoreettisen minimin maksimiarvoa suurempia", ne ovat vain tuon "teoreettisen minimin " kulloistakin arvoa suurempia.
Jos taas diff.int.laskulla yrität todistaa asian niin kyllä sen kriittisen pisteen eli osittaisderivaattojen nollakohdan löytämisen lisäksi on käsiteltävä nuo mainitsemani asia 1) ja 2). Ja tässä on kyllä puuhaa.
Minun todistukseni oli lyhyt ja ytimekäs eikä tarvittu sen järeämpiä työkaluja kuin keskiarvoepäyhtälö, joka sanoo, että positiivisten lukujen aritmeettinen keskiarvo >= niiden geometrinen keskiarvo ja = sjvs kun luvut ovat yhtäsuuret.
Ohman
Otan vielä yksinkertaisen esimerkin. Olkoon meillä funktio f(x) joka on määritelty kun x >= 0 ja josta on todistettu että f(x) >= - x. Tämän alarajan suurin arvo on 0 mutta ei tästä seuraa, että f(x) >= 0. Esim. f(3) = -2 on ehtoon sopiva, f(3) = - 2 > -3.
Ohman
Sanonpa nyt jotain tuosta kriittisten pisteiden etsinnästä.
Kun sievennetään funktio muotoon
f(a,b,c) = ab^2 ac^2 bc^2 cb^2 ba^2 ca^2 - 6 abc on helppo nähdä, että pisteessä (a,a,a) on
d^2f/dx^2 = d^2f/dy^2 = d^2f/dz^2 = 4a
ja muilla toisilla derivaatoilla on arvo = -2a.
Tästä seuraa, että Hessen matriisin determinantilla pisteessä (a,a,a) on arvo 0, joten kyseessä on ns. degeneroitunut kriittinen piste joten edes näitten toisten derivaattojen tutkiminen ei vielä riitä kertomaan, onko kyseessä edes lokaali minimi vaan tarvitaan lisäpäättelyä.
Lisäksi on tietenkin todistettava että kyseessä on globaali minimi,
Tällaisen menettelyn sijasta funktiosta f näkyy heti, että halutun tuloksen saa aikaan keskiarvoepäyhtälöstä.
Ohman