Hei!
Törmäsin seuraavaan tehtävään Maa02-kursilla, voisiko joku selittää miten b-kohta tulisi laskea?
Tehtävänanto:
Kokonaisluku vähennetään kuutiostaan.
Osoita, että saatu luku on aina
a)
kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo
Ymmärsin että nˆ3-n=n*(n 1)*(n-1)
b)
jaollinen luvuilla 2 ja 3.
Tätä kohtaa en ymmärtänyt. Miten osoitan että nˆ3-n, eli n*(n 1)*(n-1) on jaollinen luvuilla 2 ja 3?
Törmäsin seuraavaan tehtävään Maa02-kursilla, voisiko joku selittää miten b-kohta tulisi laskea?
Tehtävänanto:
Kokonaisluku vähennetään kuutiostaan.
Osoita, että saatu luku on aina
a)
kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo
Ymmärsin että nˆ3-n=n*(n 1)*(n-1)
b)
jaollinen luvuilla 2 ja 3.
Tätä kohtaa en ymmärtänyt. Miten osoitan että nˆ3-n, eli n*(n 1)*(n-1) on jaollinen luvuilla 2 ja 3?
Vastaukset 1
Vanhimmat
Se on kolmen peräkkäisen kokonaisluvun tulo. Joku näistä luvuista on välttämättäkin parillinen. Siksi tulo on jaollinen kahdella.
Vastaavasti joku niistä kolmesta peräkkäisestä kokonaisluvusta on jaollinen kolmella (sillä joka kolmas luku on aina jaollinen kolmella), joten tulo on myös jaollinen kolmella.
TOINEN TAPA:
Tutkitaan alkuperäistä lauseketta n^3-n ja käytetään Fermat'n pientä lausetta:
Koska 3 on alkuluku, niin
n^3 ≡ n (mod 3),
eli
3 | n^3 - n
Vastaavasti kakkoselle (joka on myös alkuluku):
n^2 ≡ n (mod 2),
joten
n^3 = n*n^2 ≡ n*n = n^2 ≡ n (mod 2),
eli n^3 - n on myös kakkosella jaollinen.
PS. (KOLMAS TAPA) Riittäisi myös testata kakkosella jaollisuus n:n arvoilla 0 ja 1 sekä kolmella jaollisuus n:n arvoilla 0, 1 ja 2. (Tämä johtuu modulaariaritmetiikasta, nämä ovat ainoat tutkiskeltavat jäännösluokat.)