Ratkaise derivaatan d^25/dx^25 = [x exp(x^2)] arvo muuttujan arvolla x=0.
En tajua yhtään miten tämä pitäisi tehdä..
En tajua yhtään miten tämä pitäisi tehdä..
Auttakaa tehtävän kanssa
jelpatkaa
673
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Vinkki: kirjoita exp sarjana
exp(y) = 1/0! 1/1!y 1/2!y^2 1/3!y^3 ...
Lisävinkki:
x*exp(x^2)
= x*(1 x^2 1/2!x^4 1/3!x^6 ...)
=x x^3 1/2!x^5 1/3! x^7 ....
Huomataan, että tässä termin x^(2k 1) kerroin on 1/k!. Kun tämä derivoidaan 25 kertaa, kaikki astetta 25 pienempää olevat termit katoavat ja mitä saadaan on
25!/12! 27*26*...*3/13!x^2 ...
Kun asetetaan x=0, jää vain vakiotermi 25!/12! = 32382376266240000.
Asian voisi sanoa näin:
Sarjassa x x^3 1/2! x^5 ... nuo x:n potenssien kertoimet ovat pisteessä x= 0 otettuja funktion x e^(x^2) derivaattoja jaettuna luvulla k! missä k on derivaatan kertaluku (Taylor-sarja pisteessä x = 0).f(x) = f(0) f'(0) x 1/2! f''(0) x^2 1/3! f'''(0) x^3 ....
Nähdään että kun k on parillinen, derivaatta numero k on nollassa 0.Päättelepä tästä mikä on d^25/dx^25 f(x) kun x = 0.
Ohman
Näppärän yksinkertainen ratkaisu Kanootilla.
En tässä nyt kilpaile "näppäryydessä" mutta kun näyttää siltä, ettet ymmärtänyt kommenttiani, niin selitän.
Taylorin sarjana f(x) = x e^(x^2) = f(0) f'(0) x 1/2! f''(0) x^2 ....1/25! (d^25/dx^25 f) (0) x^25 ... = x x^3 1/2! x^5 .... Tästä nähdään mm., että parilliset derivaatat pisteessä x=0 ovat nollia.
Kuten Kanootti3 totesi, termin x^(2k 1) kerroin tuossa Taylor-sarjassa on 1/k!.
Siis termin x^25 kerroin on 1/12! ja tuossa Taylorin sarjassa tuo kerroin on 1/25! *( d^25/dx^25 f) (0) = 1/12! joten tuo kysytty derivaatta on 25! / 12!.Ei tarvita tuota 25 kertaa derivointia vaan tuloksen näkee suoraan.
Samoin nähdään suoraan minkä tahansa tämän funktion derivaatan arvo pisteessä 0.
Ohman
Minähän en Ohman ottanut vastaukseesi mitään kantaa, eikä viestini tarkoittanut sitä etteikö sinun ratkaisusi olisi ollut "näppärä".