Millä taktiikalla ratkaistaan yhtälö 2^x=3^x?
Muuttuja eksponentissa
javesmirabajdu
9181
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Turvaa tilisi vahvistamalla puhelinnumerosi. Voit silloin palauttaa unohtuneen salasanan tekstiviestillä.
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 9
Vanhimmat
(2/3)^x = 1; x=0.
Tehtävästä oli tosiaan jäänyt osia pois, eli:
2^3x=3^2x
eli 8^x = 9^x, jonka ainut reaalilukuratkaisu on x = 0
Tarkoitat varmaan 8x = 9x?
Tokihan tuohon yhtälöön 8^x = 9^x myöskin päästään, kun saadaan, että x=0 :D.
Tosiaan, aloittaja, muista sulut, jos tarkoititkin yhtälöä 2^(3x)=3^(2x), (joka tuolla on myös jo ratkaistu (vaikka siitäkin sulut unohtuneet) ja senkin ratkaisu oli x=0).
tai sitten logaritmiyhtälönä
2^3x=3^2x
lg (2^3x) = lg (3^2x)
3x • lg2 = 2x • lg3
3x • lg2 - 2x • lg3 = 0
x (3lg2 - 2lg3) = 0
x (lg8 - lg9) = 0
x (lg[8/9]) = 0
Tulon nollasäännön nojalla ainoa ratkaisu x = 0
Entä millä ehdoilla yhtälölle a^b = b^a on ratkaisu, ja montako ratkaisua b on tiettyä a arvoa kohden? Ja mitkä ovat mahdolliset kokonaislukuratkaisut?
a^b = b^a => ln(a)/a = ln(b)/b, kun a ja b > 0
Tarkastellaan funktiota f(x) = ln(x)/x. Derivaatta on (1-lnx)/x^2. Nähdään että funktio f(x) kasvaa monotoonisesti välillä 0->e, saavuttaa maksimin kohdassa e, ja sen jälkeen vähenee monotonisesti. f(x)<0 kun x<1, f(1)=0 ja välillä 1->e on 1/e>f(x)>0. Välillä e->ääretön f(x) vähenee arvosta 1/e->0.
Monotonisesti kasvava funktio ei voi saada samaa arvoa kahdessa eri kohdassa, siksi noiden kahden kohdan tulee olla e "eri puolilla" ja >1. Ja kun sekä välillä 1-e että e-ääretön f(x) saa kaikki arvot välillä 0-1/e, löytyy f(x) jokaiselle arvolle välillä 1<x<e yksi ja vain yksi vastine välillä e-ääretön.
Siten alkuperäisessä yhtälössä löydetään kutakin a>1 kohti yksi ratkaisu b>1.
Kokonaisluvuilla yhtälö pätee parille (2,4) ja (-2,-4) mutta ei muilla arvoilla. Sen todistaminen on kinkkisempää.
Niin ja sitten on tietysti vielä triviaaliratkaisu a=b.
Todistus kokonaisluku ratkaisuille:
Oletetaan, että a ja b ovat kokonaislukuja.
Triviaalit ratkaisut: a=b (0^0 ei määritelty, mutta kai voidaan sopia 0^0 = 0^0 antaa myös ratkaisun : )).
Oletetaan a< b ((a,b) ratkaisu joss (b, a) ratkaisu).
Jos nyt a<0 (eli a<=-1), niin myös b<0, sillä muuten |a^b|>=1 ja |b^a| = |1/b|^(-a)<=1 [Ks. HUOM]. Luvut a ja b ovat myös samaa pariteettia, jotta yhtälön puolet ovat saman merkkiset. Tällöin (-a)^(-b) = (-b)^(-a) ja tällainen (mahdollinen) ratkaisu, jossa a<0 saadaan positiivisesta ratkaisusta, jossa b>a>0 (a=0 on tuo 0,0 tapaus).
[HUOM: Tapaus a=-1, b=1 voidaan sulkea pois, sillä tällöin yhtälön puolet ovat eri merkkiset.
Ja kun a=-1, b>=2, niin |1/b|^(-a) =1/2 < 1. Kun a<=-2, niin |a|^b >1. Siis tuohon epäsuoran todistuksen päättelyyn saadaan aina aito epäyhälö.]
Oletetaan siis sitten, että 0<a<b.
Kuten NoinOn totesi, funktio f(x) = ln(x)/x, x>0, saa maksiminsa, kun x=e ja on monotoninen, kun x>e. Siten, jotta a^b = b^a kokonaisluvuille a ja b, joille 0<a<b, täytyy a:n olla joko 1 tai 2. Ykkönen antaa triviaaliratkaisun (1,1) ja jos a=2, niin yhtälö on 2^b = b^2, tämän positiiviset ratkaisut nähdään helposti olevan b=2 ja b=4.
Siis epätriviaaleja positiivisia ratkaisuja löytyi (kun symmetria huomioidaan) kaksi kappaletta: (2, 4) ja (4, 2). Nämä "antavat" myös negatiiviset ratkaisut (-2, -4) ja (-4, -2).