Nelikulmion muotoisen toriaukion kulmien eräästä torin pisteestä mitatut etäisyydet ovat 25, 38, 43 ja 52 metriä. Voiko aukio olla suorakulmion muotoinen? Perustele.
Torilla tavataan
Jalaitetaankopakettiin
11101
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 11
Vanhimmat
Merkataan yhdysjanoja pisteestä kulmiin a, b, c ja d. Yhdysjanat muodostavat kolmion sisään neljä kolmiota. Kun sovelletaan sinilausetta näihin kolmioihin ympäri kiertäen, sain ehdon:
a^2 c^2 = b^2 d^2
Lukuarvot sijoitettaessa menee lähelle mutta ei ihan. Mutta jos on pyöristetty täysiin metreihin, voi olla suorakulmio.
Voisiko nimimerkki Noinkohan vähän täsmentää.
Minkä ihmeen kolmion sisään yhdysjanat muodostavat neljä kolmiota?
Miten näihin sovelletaan sinilausetta?
Ajatusvirhe, suorakulmion sisään. Valitaan yksi neljästä kolmioista ja siitä yksi yhdysjanan ja suorakuolmion sivun välinen kantakulma. Tämän kolmion toinen kantakulma saadaan siitä yhdysjanojen pituuksien avulla sinilauseella. Se on viereisen kolmion komplementtikulma. Näin kierretään kolmio kerrallaan suorakulmion läpi, jolloin päädytään aluksi valittuun kulmaan. Siten saadaan antamani yhtälö, jonka pitää päteä, jos on suorakulmio. Liian työlästä tässä kirjoitettavaksi.
Tämä on yllättävän vaikea tehtävä, ja minäkin olen tätä vääntänyt oikein sitten vähän aikaa.
Piirsin ensin ilman harppia aika suttuisen kuvan oikeassa suhteessa, jotta sain selville, miten ne mitat siinä oikein ovat, ja tuosta kuvasta kyllä pääsee selvyyteen siitä, että ei ne mitat siinä muuten voi olla. http://aijaa.com/Slgk1b
Sitten seuraava askel oli ymmärtää, että kaksi etäisyyttä ovat oikokulmassa toisiinsa nähden, ja sitten vielä Pythagorasta ja kaksi sinilausetta peliin, niin lopputuloksena on , että ei ole suorakulmio, pari metriä oli yksi mitta liian pitkä. http://aijaa.com/quNC19
(Pakkohan tähän olla joku helppo ratkaisu, ei tämä voi näin vaikea olla. Tuolla sinilausekierrätyksellä en päässyt mihinkään...)
Minä sain tuon kaavan a^2 c^2 = b^2 d^2, sijoitetaan
25^2 52^2 = 3329
38^2 43^2 = 3293
Eli aika lähelle menee tuolla kaavalla, heitto olisi vain metrin murto-osia. Jos tuo suurin pituus olisi 52 asemesta 51,7, saataisiin summaksi 3298 eli varsin lähelle toista summaa.
Kuvaan hieman enemmän sitä sininkierrätyslausetta. Merkitään yhdysjanoja myötäpäivään a, b, c ja d, ja yhdysjanan ja nelikulmion sivujen välisiä kulmia A, B, C ja D niin että A on a:n vastainen kulma vastapäivään katsoen. Koska kyseessä on suorat kulmat, pätee yhdessä kolmioista:
sinA/a = sin(90-B)/d = cosB/b => cosB = (d/a)*sinA =>
sinB = sqrt(1-(cosB)^2) = sqrt(1- ((d/a)*sinA)^2)
Tuota kun jatketaan, saadaan sinC, sinD ja lopulta sinA, Käy niin että sinA supistuu pois ja jäljelle jää sievennettynä tuo yhtälö yhdysjanojen välillä.
Joo, ja tuon kaavan voi todistaa helpomminkin. Jos piirretään suorakulmion sisällä olevasta pisteestä kohtisuorat kaikille sivuille, ja lasketaan ko pisteen ja kulmapisteiden etäisyyksien neliöt noiden kohtisuorien avulla, nähdään että yhtälö a^2 c^2 = b^2 d^2 pätee.
Se on sillai kyllä aika helppo ja laitan siitä paperin tonne loppuun. Siinä olevasta kuviosta tuli mieleen ensinnäkin Union Jack, ja sitten lisäksi se, että olen itse tämän joskus aikaisemminkin laittanut, mutta nyt ei enää järki luista, eikä tämä ratkaisu tullut enää mieleenkään.
Tuo minun ensimmäinen tekele on erikoistapaus , siis jossa kaksi mittaa ovat oikokulmassa ja sekin kyllä toteuttaa tuon yhtälön, kunhan sitä vähän korjaa. Aika lapsellinen virhe siinä loppujen lopuksi oli.
Se ei siis kelpaa yleisestä osoituksesta, koska se oli, kuen sanottu oikokulma-erikoistapaus.
Laitan senkin tänne vielä mielenrauhan vuoksi. Lässytän tässä taas turhia, en omaksi iloksi, vaan moderaattorin väsyttämiseksi, ettei heti poista noita linkkejä:
http://aijaa.com/s3Fx5x
http://aijaa.com/absynq
http://aijaa.com/x09VWh
Tässä tuli nyt varmuuden vuoksi jompikumpi kahteen kertaan, toivottavasti ei kolmeen..
Ja tuo ehto siis merkitsee, että nelikulmio voi olla suorakulmainen, mutta ei välttämättä. Jos meillä on suorakulmio ja piste sen sisällä, jolloin ehto pätee, voimme pitää sisäpisteen ja kolme kärkipistettä paikallaan, ja valita neljännen kärkipisteen ympyrän kehältä niin, että ehto pätee.
Tässä matemaattisessa tehtävässä nuo mitat oletettiin tarkoiksi. Ja kysymys siis kuului, VOIKO toriaukio olla suorakulmion muotoinen?
Ei voi
Jos meillä on tietty yhdistelmä pisteen etäisyyksiä torin kulmapisteisiin ja ne täyttävät suorakulmaisuusehdon, suorakulmio ei ole yksikäsitteisesti määritelty. Ja kuten edellä todettiin, samalla yhdistelmällä saadaan myös ei-suorakulmaisia nelikulmioita.