Yhtälön ax^2 bx c=0 kaikki vakiokertoimet ovat nollasta eroavia ja sen juuret ovat p ja r. Muodosta toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat p/r ja r/p.
Jos p ja r on juuret niin silloin esim. p = b ja r = c (tai toisinpäin)
p/r r/p = p^2 r^2/pr ja (p/r)(r/p)= pr/pr = 1
Joten onko yhtälö silloin ax^2 b^2 c^2/bc 1 = 0
meninköhän jossain aivan täysin mönkään?
Jos p ja r on juuret niin silloin esim. p = b ja r = c (tai toisinpäin)
p/r r/p = p^2 r^2/pr ja (p/r)(r/p)= pr/pr = 1
Joten onko yhtälö silloin ax^2 b^2 c^2/bc 1 = 0
meninköhän jossain aivan täysin mönkään?
Vastaukset 13
Vanhimmat
ax^2 (b^2 c^2/bc)x 1 = 0
X unohtu tuolta välistä
"Yhtälön ax^2 bx c=0 kaikki vakiokertoimet ovat nollasta eroavia ja sen juuret ovat p ja r. Muodosta toisen asteen yhtälö, jonka juuret ovat p/r ja r/p."
Onkohan tässä ideana opettaa, että toka virke ei riipu ekasta? Mä vastaisin että (x-p/r)(x-r/p)=0.
Aaaa.... tarkoitat siis että tuolla yleisen toisen asteen yhtälöllä ei ole mitään tekemistä vastauksen kanssa?
Ja tuo (x-p/r)(x-r/p) sieventyy sitten toisen asteen yhtälöksi joka on sitten se vastaus?
x^2-rx/p-px/r 1=0
ja p ja r ≠0?
"Aaaa.... tarkoitat siis että tuolla yleisen toisen asteen yhtälöllä ei ole mitään tekemistä vastauksen kanssa?"
Niin juuri. Pitää vaan tarkastaa, että kaikkia nollasta poikkevia rationaalilukuja p ja r kohti on olemassa toisen arteen yhtälö, jonka juuret ovat p/r ja r/p. Muttä tällainen on olemassa kun annoin sellaisen.
"Ja tuo (x-p/r)(x-r/p) sieventyy sitten toisen asteen yhtälöksi joka on sitten se vastaus?"
Tuo (x-p/r)(x-r/p) on lauseke, ei yhtälö. Yhtälö on (x-p/r)(x-r/p)=0. Se on toista astetta. Minusta lauseke (x-p/r)(x-r/p) on polynomi, mutta lukio-opettajani väitti aikoinaan, että ei ole vaan polynomi tulee aina kertoa auki.
p/r r/p = p^2 r^2/pr
toi on väärin , pitäisi olla ((p r)^2-2pr)/pr
Eli d*(x-p/r)(x-r/p)=0 <=> d*(x^2-x(p/r r/p) 1)=0
d*(x^2-x* ((p r)^2-2pr)/pr 1)=0, niin tähän sitten p r=-b/a , ja pr=c/a
ja tulee: d*( x^2-x(b^2-2ac)/ac 1)=0
Lienee tarkoitus, että sen toisen asteen yhtälön , jonka juuret ovat p/r ja r/p, lausutaan vakioiden a,b ja c avulla.
oletus: a =/ 0, muuten ei toisen asteen yhtälö. Kirjoitetaan muotoon x^2 dx e = 0, missä d = b/a ja e = c/a.
Tämän yhtälön juuret x1 ja x2 toteuttavat yhtälöt:
x1 x2 = - d ja x1 * x2 = e.
Yhtälö on siis x^2 - (x1 x2) x x1*x2 = 0.
Kun x1 = p/r ja x2 = r/p on x1 x2 = p/r r/p ja x1 * x2 = p/r * r/p = 1.
Etsitty yhtälö on siis x^2 -(p/r r/p) x 1 = 0
Tarkastus: Yhtälön juuret ovat 1/2(p/r r/p) /- 1/2 * sqrt( (p/r r/p)^2 - 4) = 1/2 (p/r r/p) /- 1/2 (p/r - r/p)
x1 = p/r ja x2 = r/p kuten pitikin.
Vaikka ei tehtävänannossa suoraan sanota, kyllä se loppuyhtälö piti ilmaista a, b ja c avulla. Todetaan että kun alkuperäinen yhtälö on:
x^2 (b/a)x c/a = 0, siten p r = -b/a ja pr = c/a
Uusi yhtälö on p ja r avulla kuten huutiukko on kirjoittanut. Nyt nähdään että:
p/r r/p = (p^2 r^2)/pr = ((p r)^2-2pr)/pr = ((-b/a)^2-2c/a)/(c/a) = b^2/ac-2
Eli yhtälö on:
x^2 (b^2/ac-2)x 1 = 0.
Jos juurien summa tuossa lopussa on p/r r/p = b^2/ac - 2 niin eikös yhtälö ole x^2 -(b^2/ac - 2) x 1 = 0 ?
Yhtä sotkua tuo sinun juttusi.Yhtälösi on x^2 (b/a) x c/a = 0. Jos kerran yhtälön juuret ovat p/r ja r/p niin p/r r/p = - b/a ja
p/r * r/p = c/a = 1 joten c = a. (kaikki kertoimet olivat =/ 0).
Yhtälö on siis x^2 b/a * x 1 = 0.
Tämän juuret ovat -b/(2a) /- sqrt(b^2/(4 a^2) - 1)
ja siis x1 x2 = - b/a ja x1 * x2 = 1.
Tästä muodosta ei kyllä nyt näy tuo haluttu asia eli että juuret ovat p/r ja r/p.
Jos yhtälö kirjoitetaan kuten jo kirjoitin, nuo juuret selvästi näkyvät:
x^2 -(p/r r/p) x 1 = 0. Nyt juurien summa on selvästi x:n kerroin negatiivisena ja tulo on = vakiotermi 1.
Yhtälö on x^2 b/a x c/a = 0 ja sen juuret ovat p ja r.
p = - b/(2a) sqrt(b^2 /(4 a^2) - c/a) ja r = - b/(2a) - sqrt(b^2/(4 a^2) - c/a)
Uusi yhtälö on x^2 - (p/r r/p) x 1 = 0. Tämän juuret ovat ne halutut.
p/r r/p = b^2/(ac) - 2.
Uusi yhtälö on x^2 -(b^2/(ac) - 2) x 1 = 0.
Tällainenhan siitä tulee, mutta en oikein näe järkeä tässä tehtävässä. Ihan yleisesti voidaan kirjoittaa suoraan tuo yhtälö, jonka juuret ovat r/p ja p/r olivatpa ne mitä nollasta eroavia lukuja hyvänsä. Tietenkin siihen voidaan sitten sijoittaa jonkin tietyn yhtälön juuret p ja r.