Heitetään (reilua 50-50) kolikkoa n kertaa. Mikä on todennöisyys p(n) että ei tule yhtään kolmen putkea (3 kruunaa peräkkäin tai 3 klaavaa peräkkäin)?
Merkitään 0="klaava" ja 1="kruuna". Kun n=6, niin esimerkiksi heittotulokset
011101,
000111
ja
101000
sisältävät kolmen putken, mutta seuraavat ei
010101
001100
110101.
Merkitään 0="klaava" ja 1="kruuna". Kun n=6, niin esimerkiksi heittotulokset
011101,
000111
ja
101000
sisältävät kolmen putken, mutta seuraavat ei
010101
001100
110101.
Vastaukset 14
Vanhimmat
Mitä olet yrittänyt? Mihin jäit jumiin?
Ok. Yleensä kannattaa kirjoittaa näkyviin, mitä on pohtinut. Ei monikaan jaksa vastailla jos sama nimimerkki vaan postittaa kysymyksiä eikä esitä yrityksiä ratkaista ongelma. Markovin ketjut ovat ihan toimiva vaihtoehto tällaiseen. Rekursiivinen kaava on toinen vaihtoehto. Tällaisen voi ratkaista ohjelmoimalla dynaamisen algoritmin. Ohjeita sivulla https://stats.stackexchange.com/questions/21825/probability-over-multiple-blocks-of-events
Tuossa on n-2 kolmen putkea, Kolmen putkessa ensimmäinen saa olla kumpi tahansa, mutta kaksi seuraavaa pitää olla samat kuin ensimmäinen, joten kolmen putken esiintymistodennäköisyys tietyssä kohdassa on 1/4. Tn ettei ole kolmen putkea on siis 3/4 - tämän täytyy toistua n-2 kertaa.
Ne kolmen putket eivät ole riippumattomia, sillä ne menevät päällekkäin. Siis todennäköisyyttä ei saa tulona (3/4)^(n-2).
Kun n=3 saadaan kyllä tuo tn. 3/4, mutta jo p(4) = 5/8 = 10/16, eikä 9/16, mikä saataisiin (3/4)^2:sta.
Juu totta, erehdyin.
Hyväksyttävien tulosten määrä näyttäisi noudattavan fibonacci-sarjaa paitsi alkuarvot ovat 0:2, 1:4.
Tämä näyttäis seuraavan siitä että jokainen n-pituinen hyväksytty jono joko päättyy 11,00,01,10. Voidaan merkitä A(n):llä niiden n-pituisten jonojen määrää jotka päättyvät 11 tai 00 sekä B(n):llä niiden lukumäärää jotka päättyvät 10 tai 01.
Jokaisesta 11 päättyvästä tulee seuraavaksi 10, 00:sta 01, 10:sta 00 tai 01, 01:stä 11 tai 10.
A(2)=2, B(2)=2,B(3)=4,A(3)=2. B(n)=B(n-1) A(n-1), A(n)=B(n-1). Kaikkien jonojen lukumäärä on S(n)=A(n) B(n) eli S(n)=B(n 1)=B(n 1) B(n).
Pienellä vaivalla siis voidaan laskea tuloksia vaikka kuinka suurille n:n arvoille.
Muutama laskettuna: 4, 6, 10, 16, 26, 42, 68, 110, 178, 288, 466, 754, 1220, 1974, 3194, 5168, 8362, 13530, 21892, 35422, 57314, 92736, 150050, 242786.
Todennäköisyyden saa jakamalla tuon luvun kaikkien mahdollisten n-pituisten jonojen lukumäärällä eli 2^n:llä.
Joo, Fibonacci-luvut tulevat mukaan kuvioihin. Sinulla näyttäisi tuo jono 4,6,10,... alkavan n:n arvosta 2. Kun jaat yhden kakkosen pois todennäköisyydestä saadaan ratkaisu
p(n) = F(n 1) / 2^(n-1),
ihan tavallisille Fibonacci luvuille. Huomaa jos lähdetään 2:sta ja 4:stä, niin se on sama kuin tuplasti sellainen joka lähtee 1:stä ja 2:sta (tämäkin siis yhden indeksin edellä ja siksi F(n 1) osoittajassa).
Oma ratkaisuni (jonka jo linkkasin, mutta viesti poistettiin, toivottavasti tätä ei poisteta :D):
http://aijaa.com/8RwnoD
Siinä on ideana, että kun binäärijonoa (eli heitot) käydään järjestyksessä läpi, pidetään kirjaa kuinka pitkä jono samaa symbolia on viimeksi tullut ja lasketaan todennäköisyys, ettei päädytä kolmoseen ennen kuin n symbolia on käyty läpi.
Kolmen putki voi alkaa missä tahansa positiossa positiosta 1 aina positioon n-2 saakka. Olkoon i mikä tahansa positio välillä [1, n-2]. Todennnäköisyys sille, että positiossa i alkaa kolmen putki = 1/4, koska ainoat mahdolliset putket ovat {0,0,0} ja {1,1,1] ei kaksi kombinaatiota kahdeksasta mahdollisesta kombinaatiosta. Täten todennnäköisyys sille, että positiossa i ei ala kolmen putkea = 1 - 1/4 = 3/4. Koska yhtään kolmen putkea ei saa esiintyä n:n heiton sarjassa, täytyy jokaisessa näistä positioista välillä [1, n-2] alkaa putketon sarja, ja kysytty todennäköisyys on siten
(3/4)^(n-2).
"ei kaksi kombinaatiota" piti olla " eli kaksi kombinaatiota".
Kuten kanootti3 ylempänä totesi, peräkkäiset kolmen sarjat eivät ole riippumattomia, Ei-putkea seuraa ei-putki suuremmalla kuin 3/4 todennäköisyydellä. Samoin putkea seuraa putki todennäköisyydellä 0,5. Tämän vuoksi tuo (3/4)^(n-2), johon itsekin haksahdin, ei ole oikein.
" peräkkäiset kolmen sarjat eivät ole riippumattomia,"
Tehtävän analyysin kannalta ovat. Kaikki heitot ovat riippumattomia toisistaan, vaikka kolmen sarjat tietysti overlappaavatkin. Tämä overlap ei vaikuta tehtävän analyysiin lainkaan. Kustakin positiosta alkavan sarjan todennäköisyysanalyysia varten ei tarvitse huomioida sitä mitä edellä on tapahtunut.
Kyllä nyt täytyy oikoa, mitä eilen tuli nopeasti huitaistuksi. Eivät tosiaan ole riippumattomia. Täysi putkittomuus n:llä heitolla saadaan seuraavalla kaavalla:
P(n) = f(n)/2^n, missä f määritellään seuraavasti:
f(3) = 6,
f(4) = 10,
f(k) = f(k-2) f(k-1).
Siten esimerkiksi:
P(3) = 6/2^3 = 6/8;
P(4) = 10/2^4 = 10/16;
P(5) = (6 10)/2^5 = 16/32;
P(6) = (10 16)/2^6 = 26/64;
P(7) = (16 26)/2^7 = 42/128;
P(8) = (26 42)/2^8 = 68/256;
jne.
Eilen tosiaan tuli heitettyä pikavilkaisulla paikkansapitämätön väite, mistä kaikille nöyrimmästi anteeksi, ja tässä sitten tämä (toivottavasti tällä kertaa) paikkansapitävä ratkaisu.
Nimimerkki kappaskummaa
29.11.2017 17:40
näytti jo tehneenkin prikulleen saman havainnon.
Hienoa!
Yleistetään tehtävää siten, että on m symbolia (m-tahkoinen noppa kolikon tilalle) ja kysytään todennäköisyyttä ettei tule k:n putkea (mitään samaa symbolia) kun heitetään n kertaa.
Tällöin
p(n) = p_{k, m} (n) = a(n) / 2^n
missä a(n) = a_{k, m} (n), saadaan rekursiosta
a(n) = (m-1)* [ a(n-1) ... a(n-(k-1)) ]
(eli summataan k-1 edellistä ja kerrotaan (m-1):llä. Alkuarvot ovat
a(j) = m^j, j=1,2,3,...,k-1.