Jos luku jaetaan kahdella on jakojäännös 1.
Jos luku jaetaan kolmella on jakojäännös 2.
Jos luku jaetaan neljällä on jakojäännös 3.
Jos luku jaetaan viidellä on jakojäännös 4.
Jos luku jaetaan kuudella on jakojäännös 5.
Jos luku jaetaan seitsemällä on jakojäännös 0 .
Mikä luku ?
Jos luku jaetaan kolmella on jakojäännös 2.
Jos luku jaetaan neljällä on jakojäännös 3.
Jos luku jaetaan viidellä on jakojäännös 4.
Jos luku jaetaan kuudella on jakojäännös 5.
Jos luku jaetaan seitsemällä on jakojäännös 0 .
Mikä luku ?
Vastaukset 16
Vanhimmat
119
539
959
1379
1799
2219
2639
3059
3479
3899
4319
4739
5159
5579
5999
6419
6839
7259
7679
8099
8519
8939
9359
9779
Yleinen ratkaisutapa on poistaa ne modulit, joiden suurin yhteinen tekijä on vähintään yksi, https://math.stackexchange.com/questions/1095442/chinese-remainder-theorem-for-non-prime-non-coprime-moduli , ja sitten käyttää kiinalaista jäännöslausetta, http://matematiikkakilpailut.fi/kirjallisuus/laajalukuteoriamoniste.pdf
Jos tätä ihan raakasti laskemalla yrittää, niin ensin täytyy löytää kaksi lukua , jotka sen toteuttaa.
Aika äkkiä näkee, että 7*(seitsemää isompi alkuluku) saattaa sen toteuttaa, joten tarkastetaan alkupään alkulukuja: 7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53...sekä näitä miinusmerkkisinä.
Noista ainakin toteuttaa enempää laskemista esittämättä 17 ja -43. => x=119 , tai x= -301)
Siitä ne loput sitten saadaankin, eli x=119 n(119 301)=119 420n (tässä on käytetty suoran vektori- ja parametrimuotoja )
Nyt kun annetaan n:lle arvoja tulee:
n=0, x=119
n=1, x=539
n=2, x=959
n=3, x=1379
n=4, x=1799
Tuosta näkee, että esim. 539=7*7*11, eli ei pätenytkään suoraviivaisesti se 7*alkuluku, mutta mitä sitten...
Pienin luku saadaan kaavasta (7:lla jaollinen ja pariton):
x = 7 7*2*n = 7(1 2*n)
n ei tietystikään voi olla 1 (olisi 3:lla jaollinen) tai 2 (olisi 5:lla jaollinen). 8:lla saadaan 119.
Muut 420 välein. (420 = 2*2*3*5*7)
Te kysymykseen vastanneet ystävät hyvät ajattelette nyt tehtävää turhan monimutkaisesti. Oleellista tässä on huomata, että etsityn luvun jakojäännös luvuilla 2, 3, 4, 5 ja 6 jaettaessa on aina sama, nimittäin -1. Näin ollen sen jakojäännös myös mainittujen jakajien pienimmällä yhteisellä jaettavalla, eli luvulla 60 jaettaessa on -1 ts. pienin positiivinen jakojäännös luvulla 60 jaettaessa on 59.
Etsitään nyt vaikkapa kokeilemalla positiivisten kokonaislukujen jonosta 59, 60 59, 2*60 59, 3*60 59,... pienin sellainen luku, joka on luvulla 7 tasan jaollinen. Havaitaan, että 60 59=119=7*17 0. Siispä pienin positiivinen annetut jakojäännösehdot toteuttava kokonaisluku on 119.
Muut annetut jakojäännösehdot toteuttavat kokonaisluvut saadaan lisäämällä tähän lukuun tai vähentämällä siitä jokin lukujen 60 ja 7 pienimmän yhteisen jaettavan, luvun 420, kokonaislukumonikerta.
Kiitos, se oli hyvä, että joku keksi tähän jonkun näppärän tavan löytää se 119. Itsekin kyllä käytin jakojäännöksen manipulointia negatiivisesta positiiviseen, mutta järki ei enempään riittänyt, ja hyvin työlääksi meni.
Se 119 nimittäin oli juuri se kysytty luku. Ei noita muita lukuja tehtävässä alunperin edes kysytty. Tämäkin tehtävä oli Tekniikan Maailman Pulmakulmassa -1966
Ei tuossa mitään hirveitä aivovoimisteluita tarvita tuon 119 löytämiseksi. Kun viidellä jaettaessa jakojäännös on oltava 4, niin luvun on päätyttävä neloseen tai ysiin. Haettava luku ei kuitenkaan voi päättyä neloseen, koska se olisi silloin kahdella jaollinen, joten ysiin on päätyttävä. Lisäksi kun luvun on oltava seiskan monikerta, niin kyseeseen tulee luvut: 7*07, 7*17, 7*37, 7*47, 7*67, 7*77......siinä se(7*17) jo tulikin, ja tuli jo seuraavakin(7*77)...
En ole varma tuosta, pitääkö asiat aina ratkaista mahdollisimman yksinkertaisesti. Olen tutkinut matematiikkaa ja saanut tuloksia aikaan, vaikka ratkaisut eivät ole aina olleet mahdollisimman yksinkertaisia. Kuitenkin algoritmit ovat olleet riittävän hyviä ja supenneet riittävän lähelle optimaalista ratkaisua tarpeeksi nopeasti. Mutta tapauskohtaisesti kannattaa miettiä, tarviiko keskittyä yksityiskohtiin vai voiko miettiä yleisemman tapauksen teoriaa, joka ei ole niin tarkka tietyssä tapauksessa mutta approksimoi tarpeeksi hyvin yleisen tapauksen ratkaisua.
Tuosta rohkaistuneena laitan minäkin tämän oman tutkielmani. Totesin nimittäin, että jotta saataisiin tämä tunnettu tulos : x=119 n*420, on tuossa paperissani laskettava tuo x:n kerroin 669/420 juuri tuossa järjestyksessä kuin sen laskin, eikä siinä saa supistella vaikka mieli tekisi.
Tuo antaa heti oikean jakson n*420. Jos siinä supistelee , ja laskee jossain muussa järjestyksessä, niin jaksoksi tulee n*140.
Nyt tietysti kiinnostaa , että miksi näin on, sillä lukuteorioista en tiedä pätkääkään.
http://aijaa.com/BRDrZC
3579117
Alkuoletuksista seuraa, että
x 1 = 0 (2)
x 2 = 0 (3)
x 3 = 0 (4)
x 4 = 0 (5)
x 5 = 0 (6)
Lisäksi on x = 0 (7) joten jollekin luvulle x2 pätee x = 7 x2
PYJ(2,3,4,5,6) = 60 joten
x 1 = 0 (60) eli x = - 1 (60)
Siis x 1 = 60 x1 = 7 x2 1. Saadaan Diofantoksen yhtälö
60 x1 - 7 x2 = 7 x2 = 1.
Tämän yleinen ratkaisu on
x1 = 2 - 7 t ja x2 = 17 - 60 t. t saa kaikki arvot ...-2, -1, 0,1,2,...
Ja haettu luku x = 60 x1 - 1 = 7 x2
t....................x1....................x2 ..................x
- 2................16....................137................959
- 1 .................9.....................77..................539
0.....................2.....................17..................119
1.....................-5...................- 43.................- 301
2...................- 12..................- 103...............- 721
3....................- 19.................- 163...............- 1141Kaikki ratkaisut löytyvät kun t:lle annetaan eri atvoja
jne.
Unohtui kirjautua joten olen nyt Ohman4. Ohman = Ohman3.
Tuli tuohon alkuun kirjoitettua väärin. Pitää olla
x 1 = 0 (2) (x 0n kongruentti 0:n kanssa modulo 2)
x 1 = 0 (3)
x 1 = 0 (4)
x 1 = 0 (5)
x 1 = 0 (6)
Näistä seuraa, että x 1 = 0 (60). Ja loput seuraa kuten jo kirjoitin.
Ja vieläkin: p.o : (x 1 on kongruentti 0:n kanssa modulo 2)
Kyllä on nyt paha rapula näköjään. Vieläkin virhe.P.O.
Saadaan Diofantoksen yhtälö
60 x1 - 7 x2 = 1.
Kuuskytä kertaa 1 miinus 7 kertaa 2 on 46. Ihan näin päissään laskettuna.
Heko-heko!