On kolme laatikkoa, joissa tasan yhdessä on palkinto, jonka haluat voittaa.
Saat valita yhden, muttet avata sitä - et tiedä onko palkinto siellä vai ei.
Jäljelle jää kaksi laatikkoa, joista yksi avataan, ainoastaan sellainen, joka on tyhjä.
(Jompikumpi noista kahdesta on aina tyhjä koska palkinto on vain
yhdessä laatikossa).
Nyt siis voitto on joko aluksi valitsemassasi laatikossa tai siinä toisessa,
joka on vielä kiinni.
Jotta voittomahdollisuutesi olisi optimaalinen, kannattaako sinun avata
se valmiiksi valitsemasi laatikko vai se toinen avaamaton?
Saat valita yhden, muttet avata sitä - et tiedä onko palkinto siellä vai ei.
Jäljelle jää kaksi laatikkoa, joista yksi avataan, ainoastaan sellainen, joka on tyhjä.
(Jompikumpi noista kahdesta on aina tyhjä koska palkinto on vain
yhdessä laatikossa).
Nyt siis voitto on joko aluksi valitsemassasi laatikossa tai siinä toisessa,
joka on vielä kiinni.
Jotta voittomahdollisuutesi olisi optimaalinen, kannattaako sinun avata
se valmiiksi valitsemasi laatikko vai se toinen avaamaton?
Vastaukset 37
Vanhimmat
No tietysti kannattaa vaihtaa siihen toiseen avaamattomaan, koska silloin kaksinkertaistaa mahdollisuutensa. Eri asia olisi, jos niistä kahdesta muusta yksi valittaisiin satunnaisesti eikä tieten, ja se sattuisi olemaan tyhjä. Asia havainnollistuu, jos ajatellaan, että on 100 laatikkoa, ja sitten niistä 99 ei-valitusta avataan 98 tyhjäksi tiedettyä. On selvää, että silloin jäljelle jäänyt laatikko on arvokkaampi kuin aluksi valittu laatikko.
TVssä+oli+aikanaan+"salkkupeli",+jossa+oli+25+salkkua,+yhdessä+päävoitto.+Pelin+aluksi+pelaaja+valitsi+yhden+salkun.+Sen+jälkeen+pelaaja+alkoi+avaamaan+yksitellen+muita,+jotka+poistettiin+pelistä.+Niiden+sisällöstä+riippuen+"pankkiiri"+tarjosi+rahaa+saadakseen+pelaajan+salkun.+Joskus+peli+eteni+niin,+että+jäljellä+oli+pelaajan+salkku+ja+yksi+toinen+salkku,+joista+jommassa+kummassa+oli+päävoitto.+Tällöin+pankkiiri+tarjosi+noin+puolet+päävoitosta,+koska+arvioi+mahdollisuudeksi+50+%,+että+päävoitto+on+pelaajan+salkussa.+Tässä+pelissä+salkku+avattiin+tietämättä+sen+sisältöä+ja+siksi+useimmiten+päävoitto+poistui+ennen+kuin+päästiin+kahden+salkun+tilanteeseen.+Siksi+todennäköisyydeksi+muodostui+50/50+kahden+jäljellä+olevan+salkun+tilanteessa.
Höpö höpö!
Kun yksi tyhjä laatikko avataan, jäljellä on 2, joista toisessa on palkinto. Voiton tn on 1/2. Ihan sama olisi, jos alunperin olisi vain 2 laatikkoa.
Vaikka laatikkoja olisi 1oo niin 98 tyhjän laatikon poistaminen ei anna tulokseksi muuta kuin että jäljellä on 2 laatikkoa ja taas voiton tn = 1/2. Sama kuin noita tyhjiä laatikoita ei alunperinkään olisi turhaan mukana.
Muunlaiset vastaukset ovat tnlaskun virhetulkintoja.Ei siinä kilpailijan tnavaruudessa ole kuin kaksi yhtä todennäköistä alkiota.
Jos olen mielestäsi väärässä niin annahan kunnon tnteoreettinen selitys eikä vain tuollaista sanallista järkeilyä jonka esitit edellä.
Kolmen pisteen vinkki sijaitsee juuri tehtävänannossa, eli siinä, miten kilpailun vetäjä eli isäntä mahdollisuudet esittää. MC siis _tietää_, mitkä laatikot ovat tyhjiä, avaten siis loppuhuipennukseen asti vain laatikot, jossa on kussakin purkki hernerokkaa, eikä himoittu miljoona $.
Älä masennu, sinua fiksummatkin oat haksahtaneet.
Ei ollut matemaattinen selitys tuokaan.
Eikös se ole sama vaikka vetäjä kantaisi tyhjän laatikon toiseen huoneeseen. Jäljellä on 2 laatikkoa ja voiton tn on puoli. Entä mitä eroa tällä on siihen, että alunperin olisi vain kaksi laatikkoa? Eihän tarpeettoman laatikon ensin paikalle tuominen ja sitten poistaminen vaikuta peliin mitenkään.
Nuo tehtävän selittelyt ovat vain turhaa rekvisiittaa. Kilpailija voi "valita" tuon yhden laatikon esim. siirtämällä sen metrin päähän muista kahdesta. Sitten pelin vetäjä avaa tyhjän laatikon ja vie sen pois. Pöydällä on 2 laatikkoa joista toisessa on voitto. Voiton tn = 1/2.
Tehtävän voi esittää myös toisessa täysin identtisesä muodossa:
"On kolme laatikkoa, joissa tasan yhdessä on palkinto, jonka haluat voittaa.
Saat valita yhden tai kaksi laatikkoa."
Eikös tämä ole se "Monty Hallin ongelma"?
fi.wikipedia.org/wiki/Monty_Hallin_ongelma
Ja mikään ei ole maailmassa yksinkertaisempaa kuin simuloida tätä tehtävää ihan kotioloissa millä tahansa keksimällään tavalla. Esim. kolme kuppia ja jokin esine. Tyhmimmällekin homman juju selviää alle kymmenellä kokeilulla. Ja jos ei selviä, niin sitten vaan jääräpäisesti pelaamaan ihan oikealla rahalla tätä peliä viisaamman kaverin kanssa.
Luin jostain että Paul Erdöskin "uskoi jutun" vasta nähtyään simulaation.
Nimimerkille Ihankohannoinon matemaattinen selitys:
https://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem#Direct_calculation
Tuo kuppi-pallo on suosittu katupeli. Pelinviejä sotkee kupit, antaa pelaajan valita yhden, näyttää jäljelle jäävistä tyhjän kupin, ja ehdottaa sitten tasapanostusta. Tyhmät kuvittelevat voittomahiksensa olevan 1:1 vaikka todellisuudessa se on 1:2.
Latkokyssäri: laatikossa on kolme korttia mielivaltaisessa järjestyksessä. Yhdessä kortissa molemmat puolet ovat mustia, toisessa molemmat ovat punaisia, ja kolmannessa yksi puoli on musta ja toinen punainen. Laatikosta otetaan satunnaisesti yksi kortti ja nähdään, että sen yläpuoli on musta. Mikä on todennäköisyys, että myös alapuoli on musta?
Tiedetään,+että+laatikossa+on+kortti,+jossa+molemmat+puolet+ovat+punaisia.+Tämä+siis+jäi+sinne+laatikkoon.+Sen+seurana+on+joko+punamusta+tai+kokomusta.+Todennäköisyys+siis+on+50%.
Oikea vastaus on 2/3. Kolme korttia, kullakin kaksi puolta, yhteensä kuusi vaihtoehtoa vedettäessä näkyvälle pinnalle. Kolme niistä on punaista, joten niitä ei tarvitse ottaa lukuun. Jäljelle jäävistä kolmesta mustasta yläpuolesta kaksi on sellaista, että allakin on musta, ja yhdessä tapauksessa alla on punainen.
Tehtävässä mainittiin, että kortti vedettiin jo ja todettiin sen toinen puoli mustaksi. Nyt on vain epäselvää onko toisella puolella punainen vai musta. Laatikossa oleva kokopunainen kortti ei vaikuta todennäköisyyteen mitenkään!!!
Ei vaikuta. Kyseessä on ehdollinen todennäköisyys ja vain ne tapaukset vaikuttavat, joissa musta tulee päälle. Niiden tapausten todennäköisyys on 1/2. Toisaalta musta voi alla vain jos vedetään musta-musta-kortti, minkä todennäköisyys on 1/3. Kysytty tn on siten (1/3)/(1/2) = 2/3.
Siinä kolmannessa kortissa, joka on kaksivärinen, kumpi, ylä- vai alapuoli on musta? Tämä vaikuttaa oleellisesti vastaukseen. Kysymyksenasettelussa todettiin yläpuolen väri.
Todettiin nimenpomaan yläpuoli, ei mikä tahansa toinen puoli.
ABB
BAB
BBA
Todennäköisyydellä 1/3 valitaan aluksi palkinto (A). Kun sen jälkeen jäljelle jääneistä kahdesta poistetaan toinen, poistetaan aina tyhjä, ja jäljelle jää tyhjä.
Todennäköisyydellä 2/3 valitaan aluksi tyhjä (B). Sen jälkeen poistetaan kahdesta jäljelle jääneestä tyhjä, jolloin jäljelle jää palkinto.
Koskematon laatikko on siis yhden kerran tyhjä ja kaksi kertaa se sisältää palkinnon. Siksi koskematon laatikko on oikea valinta.
Tästä havaitsemme sen, että ensimmäisen valinnan todennäköisyys pysyy samana loppuun saakka. Ainoastan se tieto, joka tunnetaan valintahetkellä, vaikuttaa todennäköisyyteen. Koska ensimmäinen valinta osuu kerran kolmesta ja koska jompikumpi vaihtoehto toteutuu väistämättä, koskemattoman valinnan on pakko osua kaksi kertaa kolmesta.
Näin siis ajattelee kotitarvematemaatikko. Jos pohdin asiaa väärin, suotakoon se anteeksi.
Tässä siis kysyjä tarkoittaa tilannetta, jossa kortit voivat olla sekä selällään että mahallaan. Tällöin alkuperäisiä vaihtoehtoja on kuusi:
MM
MM
MP
PM
PP
PP
Kuten edellä olevasta ilmenee, musta yläpuolella nousee kolme kertaa. Tämä nauliutuu lähtötilanteeksi. Tällöin kaksi vaihtoehtoa tuottaa myös alapuolelle mustan.
Folio-Hatulle: ensimmäisen valinnan todennäköisyys ei muutu, jos kahdesta jäljelle jääneestä poistetaan tyhjäksi tiedetty vaihtoehto. Se muutuu, jos poistaminen tehdään satunnaisesti. Jos se osoittautuu tyhjäksi, kasvaa ensin valitun todennäköisyys arvoon 1/2. Jos poistettavan alla on palkinto, putoaa ensin valitun tn nollaan.
Kommentointi liittyi luonnollisesti tehtäväkuvaukseen. Jos ehtoja muutetaan, muuttuvat myös johtopäätökset.
Tehtävän+kuvauksessa+on+laatikosta+nostettu+valmiiksi+kortti.+Se+ei+siis+ollut+satunnainen+nosti+kysytyn+asian+suhteen.+Kortti+voi+siis+olla+joko+puna-musta+tai+musta-musta(ei+väliä+kummin+päin).+On+siis+yksi+suotuisa+vaihtoehto+ja+kaksi+vaihtoehtoa+joten+todennäköisyys+on+50%.+Kokeileppa+tätä+asiaa+manuaalisesti,+kehotan+helpottamaan+ekan+kortin+valintaa+siten,+että+koko+punainen+ei+voi+tulla+valituksi...+Sillä+ei+muuten+ole+mitään+väliä+vaikka+kopassa+olisi+ääretön+määrä+punainen-punainen+kortteja+tai+minkä+tahansa+muun+värisiä.+Oleellista+on+se,+että+mustista+korteista+on+jompi+kumpi+nostettu+ja+kysytään+millä+todennäköisyydellä+juuri+tämä+kortti+on+musta-musta.+Tulet+saamaan+riittävän+isolla+otannalla+50%+tulokseksi!
Muuten hyvä, mutta jos se kokopunainen jätetään pois ja pelataan vaan musta-mustalla ja musta-punaisella, on mustan alapuolen tn mustan yläpuolen tapauksessa sama 2/3 :-D. Mikähän tuossa oikeen hämää; siinä voi siis ajatella olevan kaksi satunnaista asiaa, sekä kortti että sen puoli. Eli kysymys ei kuulu "millä todennäköisyydellä nostetaan musta-musta eikä musta-punainen" (joka olisi tosiaan 1/2), vaan kysymys kuuluu, millä todennäköisyydellä toinenkin puoli on musta, kun yksi puoli on jo havaittu mustaksi. Juju on siinä, että musta-musta kortin "yläpuoli" on musta, satuttiinpa se vetämään kummin päin tahansa, kun taas musta-punainen kortin tapauksessa joka toinen kerta (eli joka neljäs kortinvetokerta, jos pelataan vain noilla kahdella kortilla) päälle tulee punainen.
Juu, mutta kun sitä puna-mustaa ei koskaan nosteta punaisena! Tehtävänannossa nimenomaan sanotaan, että nostettiin musta. Tämä eka nosto on se tapahtuma, mikä tuossa tehdään (rajoitetusti!). Voit jopa unohtaa noi väriasiat ja puolet ja ajatella vain, että kumpi korteista satutaan sieltä laarista valitsemaan!!! Simuloin tätä (vaikka ei olisi tarvinnut), niin 20 tapauksen otannalla tuli tulos 9 versus 11, riittää mulle todisteeksi.
Voisit simuloida nopalla niin, että puna-musta kortin mustaa puolta edustavat nopan numerot 1 ja 2, ja musta-musta kortin yhtä puolta numerot 3 ja 4 ja toista puolta 5 ja 6. Sitten alat heitellä noppaa ja lasket, tuliko lukuja 3-6 osuus 1/2 vai 2/3 kaikista heitoista.
Noin se menee, jos kortin ylä- ja alapuoli ajatellaan pysyviksi eikä satunnaisiksi. Minusta tuossa pelissä on ideana ajatella ne satunnaisiksi, eli "yläpuoli" on se puoli, joka sattuu nostettaessa olemaan ylöspäin.
Minusta olisi havainnollisempaa simuloida vaikka kahdella kolikolla, joista toiseen on toiselle puolelle laitettu joku merkki (esittää siis sitä puna-mustan punaista puolta). Kolikoissa se puolen satunnaisuus on jotenkin helpommin havaittavissa kuin noissa korteissa. Sitten kullakin iteraatiolla 1) valitset satunnaisesti toisen kolikon ja 2) heität sitä. Jos (ja vain jos) tuloksena on merkitsemätön kolikonsivu (eli siis "musta"), katsot onko kolikon toinenkin puoli merkitsemätön ("musta"). Jos on, viiva kirjanpidossa mustalle taustalle, jos toisella puolella on merkki, viiva punaiselle taustalle. 1/4 iteraatioista johtaa hylättyyn tapaukseen, eli tuloksena on merkitty "punainen" kolikonsivu.
"Laatikosta otetaan satunnaisesti yksi kortti ja nähdään, että sen yläpuoli on musta. " Noin oli tehtävänasettelu. Korttia vedettäessä se on yleensä pään alapuolella ja silloin yläpuoli on se näkyvissä oleva pinta. Pelikorteissa puhutaan yleensä kuvapuolesta ja takapuolesta. Jos on tuollaiset värikortit, ei ole mitään perustetta nimetä pysyvästi toista puolta ylpuoleksi ja toista alapuoleksi.
Niinpä, eikä tuossa koko pelissä tai tehtävässä olisi oikein mitään ideaa ilman puolien satunnaisuutta.
Siinä+ei+ole+mieltä,+koska+koko+tehtävä+on+kompa.+Jos+kahdesta+vaihtoehdosta+on+jompi+kumpi+valittu,+on+todennäköisyys+juuri+sille+tietylle+50%.+Jotta+tehtävä+ei+olisi+liian+monimutkainen+niin+unohdetaan+kortit,+puolet,+värit+ja+kaikki+muukin+asiaa+sotkeva.+Laatikossa+on+kaksi+ulkoisesti+saman+näköistä+muistikorttia,+toinen+niistä+A+on+tyhjä+ja+B+on+täynnä+kuvia.+Laatikossa+on+myös+joku+muu+esine+C.+Laatikosta+nostetaan+umpimähkään+muistikortti.+Millä+todennäköisyydellä+kädessäsi+on+muistikortti,+jossa+on+kuvia?+Kahdesta+mahdollisesta+sinulla+on+yksi+valittuna,+joten+todennäköisyys+on+50%.
Ei se ole kompa, tai tavallaan ehkä on, mutta ei tuolla tavalla kuin sinä ajattelet. Pointtina siinä on, että kokomusta kortti "onnistuu" aina näyttämään mustan sivun, kun taas puna-musta "epäonnistuu" siinä joka toinen kerta. Mutta jos nyt olet vakaasti päättänyt olla käsittämättä mitä siinä tarkoitetaan, niin sille ei voi sitten oikein mitään.
Puna-musta+ei+epäonnistu+joka+toinen+kerta.+Tehtävässä+nimenomaan+nostettiin+musta,+ja+sitten+kysytään+millä+todennäköisyydellä+toisellakin+puolella+on+musta.+Tämä+on+fifty-fifty.+Muuttuuko+mielestäsi+todennäköisyys,+jos+kokomustan+kortin+toinen+puoli+olisi+esim+sininen.+Taas+nostetaan+yksi+kortti,+josta+näkyy+musta+puoli.+Nyt+kysytään,+että+millä+todennäköisyydellä+toisella+puolella+on+sininen?+Eikös+tämä+ole+päivän+selvä+50%,+miten+sen+ollessa+kokonaan+musta+todennäköisyys+jotenkin+paranisi???+Minä+en+ole+vakaasti+päättänyt+muuta+kuin+laskea+todennäköisyys+sille+asialle+mitä+kysyttiin.
No kokeillaas sitten täysin vastaavaa tapausta korttien sijasta vaikka niillä muistikorteilla ja valokuvilla.
Eli sinulla on kaksi täsmälleen samanlaista muistikorttia, joista toisessa on kaksi kuvaa autosta, toisessa taas yksi kuva autosta ja yksi polkupyörästä. Valitset satunnaisesti toisen kortin, laitat koneeseen ja avaat satunnaisesti toisen kuvista (kuvatiedostoja ei myöskään voi nimien tai muun perusteella tunnistaa avaamatta). Kuvassa on auto. Millä todennäköisyydellä toisessakin sillä kortilla olevassa kuvassa on auto?
Jos tämä tilanne on mielestäsi erilainen tuo kuin korttijuttu, niin sitten ongelma on vain siinä, että ajattelemme itse korttien käsittelyä jotenkin eri tavallalla.
Juu+tämä+on+aivan+sama+case+kuin+alkuperäinen.+Auto+tuli+ja+sitten+voi+olla+vain+kaksi+mahista+joko+otit+kortin,+jossa+on+kaksi+autoa+tai+et.+50%!!!
Jos et osaa laskea ehdollisia todennäköisyyksiä, voit ajatella, että teet pitkän sarjan noita muistikorttiarpomisia. Joka toinen kerta tulee auto-auto-muistikortti ja joka toinen kerta auto-fillari muistikortti. Ensinmainitussa tapauksessa avattu kuva on auto ja myös avaamaton kuva on auto. Jälkimmäisessä tapauksessa puolissa tapauksissa avattu kuva on auto, joten avaamaton on fillari. Toisessa puolessa avautuu fillari, mikä ei täytä oletusehtoa, joten ne tapaukset pyyhitään pois. Jäljelle jää kolme erilaista tapausta, joista kahdessa avaamattomassa kuvassa on auto ja yhdessä polkupyörä.
Saanko+arvata+vastauksen++:D++?
Ajatellaanpa tuota autonkuvajuttua seuraavasti. Toisessa kortissa on eri puolilla musta Mersu ja musta Audi. Toisessa taasen musta Bemari ja punainen Ferrari. Kun kortti vedetään satunnaisesti, on kaikilla neljällä autolla yhtä suuri todennäköisyys tulla näkyville. Mutta punainen Ferrari on vastoin lähtöoletusta, se tapaus pitää pudottaa pois laskuista. Jää jäljelle kolme tapausta, joko musta Mersu, musta Audi tai musta Bemari tulee näkyville, kaikilla yhtä suuri todennäköisyys. Kahdessa niistä on musta auto piilopuolella, yhdessä punainen auto.