Pythagoras ja skalaaritulo

Robotski

Kahden vektorin kertolaskua, tai tuloa pikemminkin, nimitetään skalaarituloksi. Se on nolla, jos vektorit ovat 90 asteen kulmassa toisiinsa verrattuna.

Pythagoraan lausekkeen mukaan hypotenuusa toiseen on kateettien neliöiden summa.
Menikö oikein tähän asti?

Sitten seuraa kysymys. Tunteeko kukaan matematiikan historiaa niin tarkkaan, että voisi ottaa kantaa: muodostiko Pythagoras lausekkeensa nimenomaan skalaaritulon kautta?

Eikö kolmion sivuja voi ajatella vektoreiksi, ja saadaan algebrallisesti laskien (a b)^2 lausekkeen kautta mm. skalaaritulo 2ab, joka osoittautuu nollaksi, ja sitten jää a^2 b^2. Tälläkö tavalla Pythagoras muodosti kaavansa, vai miten? Empiirisesti mittausten perusteellako - piirtelemällä suorakulmaisia kolmioita, ja päättelemällä sitten mittaustuloksista yleistyksen, että hypotenuusa on aina tietyn mittainen suhteessa kateetteihin?

https://fi.wikipedia.org/wiki/Pythagoraan_lause
https://fi.wikipedia.org/wiki/Pistetulo
http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/vektorit/vekto07.htm
https://peda.net/sievi/sievin-lukio/oppiaineet2/mp/4vektorit/tkapp/luku-3-2:file/download/dd1681b01956b91d8724e44c34847fc1db55c4dc/Vektorit_MAA5_LUKU3.2.pdf

9

204

    Vastaukset

    Anonyymi (Kirjaudu / Rekisteröidy)
    5000
    • KVäisälä.vaan

      Ei ole pakko ajatella sinne päinkään, mitä kysyt vaan tavallista perusgeometriaa vaan:
      Pythagoraan lauseen yksi perinteinen todistus:
      Olkoon suorakulmainen kolmio sivut a,b, hypotenuusa c. Piirretään hypotenuusaa kohti korkeusjana, joka jakaa c:n osiin p ja q niin että c=p q.
      Yhdenmuotoisista kolmioista suhteet c:a=a:p ja c:b=b:q, josta a^2=cp,b^2=cq, joten
      a^2 b^2=cp cq=c(p q)=c^2

      Eli pelkällä geometrialla on pärjätty, periaatteessa vaikka läpi historian; Juutuubista löytyy leikkaa/liimaa juttuja ja kai ne virallisestakin todistuksesta käy kun vaan tekee ne ns.hyvässä järjestyksessä ;)

      Vektorit tuli käsittääkseni koulukirjoihin niihin aikoihin, kun joukko-oppi muoti-ilmiönä peruskoulukokeiluissa meni kiville. Vektorit on formaatti, mitä ilman - taas periaatteessa - koulujutuissa tulisi aivan hyvin laskennoissa toimeen, ne on vaan käytännöllisiä sitten kun pitää laskea ennen käsin tai nyt koneellisesti ohjelmoituna paljon, kuten esim.fysiikassa virtausjuttuja ja sellaisia.
      Vektorit -otsikon alla on eri legopalikoita, esim.pistetulo, eristetty palikoiksi ihan vaan sillä, että sama muodollinen kuvio käytännössä toistuu niin usein, aluksi ei taideta koulukirjoissa sanoakaan, mitä mikin palikka irrallisena havaintomielessä merkkaisi. Joku matemaatikko saattaisi nähdä niissä operaattorin luonnetta siihen suuntaan kuin esim. -merkki tekee summan.

      On vektoreilla matikkahistoriassa pitemmätkin juuret, tietty
      mutta ei Pythagoras liene elementtirakentamisesta kovin perustanut, vaan siihen aikaan tiili tiileltä improvisointi ja viivotin/harppi kuviointi perusteiksi on tuntunut luontaisemmalta.
      Siinäpä vapaata proosaa, joku tietävämpi laittanee linkkejä, jos matematiikan historia kiinnostaa.

    • Robotski

      Itselläni on käsityksiä, että
      - Pythagoraan lausekkeen todistamiseen on runsaasti erilaisia keinoja, mutta
      - ehkä juuri siksi on vaikeaa jälkiviisastella, pääsikö Pythagoras johtopäätökseensä juuri tällä tai jollain muulla tavalla. Ehkä useammalla?

      Näissa väitetään, ettei lauseke ollut Pythagoraan itse keksimää alun perin ollenkaan:
      http://www.opettajah.fi/2016/01/25/pythagoraan-luvut/
      https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/pythagor3.html

      On myös Pythagoraan lukuja. Kokonaislukuja, jotka sopivat Pythagoraan lausekkeeseen. Esim. 3^2 4^2 =5^2. Olisiko hyödyllistä tätä asiaa tutkia pidemmälle; missä tällaista tietoa kokonaisluvuista voisi hyödyntää?

      Aiheesta muita linkkejä:
      https://opetus.tv/mab/mab2/pythagoraan-lause/
      https://matematiikkalehtisolmu.fi/2009/kontra_h.pdf

      • Kanootti3

        Yksi käytännönsovellus noille Pythagoraan tripleteille esim. (3,4,5) on että niillä on helppo tehdä suorakulma. Esim, jos tekee narulenkkiin kaksitoista solmua tasavälein, niin kun sen muotoilee kolmioksi, jossa on sivuilla 3, 4 ja 5 solmunväliä, siihen tulee automaattisesti suora kulma. Tämä johtuu siitä, että Pythagoraan lause toimii myös toiseen suuntaan: jos sivut toteuttavat a^2 b^2=c^2, niin kolmio on suorakulmainen.


    • matematiiikko
    • Pythagoras oli aikansa todellinen nero!
      Luulen kuitenkin, että P:n kantavaa lausetta johti pari oivallusta suorakulmaisista kolmioista, ei niinkään vektorialgebra.

      • Esimerkiksi. Jos Ympyrän sisään piirretään kolmio, jonka yksi sivu on 23, toinen 88 ja kolmas 69 astetta, niin mikä on kolmion leikkaaman suurimman palan pinta-alan (sekantin ja kaaren) suhde pienimpään (sekanttiin ja kaareen).

        Osaako joku täällä ratkaista asian ilman analyysia, siis pelkästään geometrisin perustein, kuten Pythagoras?


    • Robotski

      En pidä mahdottomana, etteikö jossain muinaisessa kulttuurissa olisi voitu käyttää esim. vektorilaskentaa, mutta sitten tiedon kadota kulttuuriperinnöstä pois joksikin aikaa, jostain syystä (sodat, nälänhädät, luonnonmullistukset, epidemiat), ja sitten on voitu keksiä samaa uudelleen. Olihan joskus jotain kulttuuria muinaisilla egyptiläisillä, inkoilla, intialaisilla, jne. Kyseenalaista, onko kaikkia muinaisia keksintöjä voitu jäljittää ja dokumentoida jälkikäteen.
      Muinaisilla kreikkalaisilla oli mm. tapa ajatella kuin luvut olisivat etäisyyksiä. Muistuttaa vektoreilla laskemista.

    • Kanootti3
      • Robotski

        Kiitoksia linkistä. Mielenkiintoisia todistuksia.
        Yllättävältä tuntui myös tuo suorakulmaisen särmiön kaava a^2 b^2 c^2 = d^2.
        Mutta tottakai asia on ihan järkeenkäypä. En vain ollut ajatellut aiemmin juuri tuota asiaa.
        Erikoista myös tuo, että Pythagoraan lausetta voisi soveltaa muihinkin pinta-aloihin kuin neliöihin.


    Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.

    Luetuimmat keskustelut

    1. Työsuhdepyörän veroetu poistuu

      Hallituksen veropoliittisen Riihen uutisia: Mitä ilmeisimmin 1.1.2026 alkaen työsuhdepyörän kuukausiveloitus maksetaan
      Pyöräily
      225
      7057
    2. Pakko tulla tänne

      jälleen kertomaan kuinka mahtava ja ihmeellinen sekä parhaalla tavalla hämmentävä nainen olet. En ikinä tule kyllästymää
      Ikävä
      45
      1315
    3. Fuengirola.fi: Danny avautuu yllättäen ex-rakas Erika Vikmanista: "Sanoisin, että hän on..."

      Danny matkasi Aurinkorannikolle Helmi Loukasmäen kanssa. Musiikkineuvoksella on silmää naiskauneudelle ja hänen ex-raka
      Kotimaiset julkkisjuorut
      29
      1148
    4. Yksi kysymys

      Yksi kysymys, minkä kysyisit kaivatultasi. Mikä se olisi?
      Ikävä
      75
      921
    5. Hävettää muuttaa Haapavedelle.

      Joudun töiden vuoksi muuttamaan Haapavedelle, kun työpaikkani siirtyi sinne. Nyt olen joutunut pakkaamaan kamoja toisaal
      Haapavesi
      49
      895
    6. Katseestasi näin

      Silmissäsi syttyi hiljainen tuli, Se ei polttanut, vaan muistutti, että olin ennenkin elänyt sinun rinnallasi, jossain a
      Ikävä
      62
      877
    7. Työhuonevähennys poistuu etätyöntekijöiltä

      Hyvä. Vituttaa muutenkin etätyöntekijät. Ei se tietokoneen naputtelu mitään työtä ole.
      Maailman menoa
      96
      856
    8. Toinen kuva mikä susta on jäänyt on

      tietynlainen saamattomuus ja laiskuus. Sellaineen narsistinen laiskanpuoleisuus. Palvelkaa ja tehkää.
      Ikävä
      38
      811
    9. Tietenkin täällä

      Kunnan kyseenalainen maine kasvaa taas , joku huijannut monen vuoden ajan peltotukia vilpillisin keinoin.
      Suomussalmi
      14
      786
    10. Jäähalli myynnissä!

      Pitihän se arvata kun tuonne se piti rakentaa väkisin.
      Äänekoski
      43
      763
    Aihe