Kahden vektorin kertolaskua, tai tuloa pikemminkin, nimitetään skalaarituloksi. Se on nolla, jos vektorit ovat 90 asteen kulmassa toisiinsa verrattuna.
Pythagoraan lausekkeen mukaan hypotenuusa toiseen on kateettien neliöiden summa.
Menikö oikein tähän asti?
Sitten seuraa kysymys. Tunteeko kukaan matematiikan historiaa niin tarkkaan, että voisi ottaa kantaa: muodostiko Pythagoras lausekkeensa nimenomaan skalaaritulon kautta?
Eikö kolmion sivuja voi ajatella vektoreiksi, ja saadaan algebrallisesti laskien (a b)^2 lausekkeen kautta mm. skalaaritulo 2ab, joka osoittautuu nollaksi, ja sitten jää a^2 b^2. Tälläkö tavalla Pythagoras muodosti kaavansa, vai miten? Empiirisesti mittausten perusteellako - piirtelemällä suorakulmaisia kolmioita, ja päättelemällä sitten mittaustuloksista yleistyksen, että hypotenuusa on aina tietyn mittainen suhteessa kateetteihin?
https://fi.wikipedia.org/wiki/Pythagoraan_lause
https://fi.wikipedia.org/wiki/Pistetulo
http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/vektorit/vekto07.htm
https://peda.net/sievi/sievin-lukio/oppiaineet2/mp/4vektorit/tkapp/luku-3-2:file/download/dd1681b01956b91d8724e44c34847fc1db55c4dc/Vektorit_MAA5_LUKU3.2.pdf
Pythagoraan lausekkeen mukaan hypotenuusa toiseen on kateettien neliöiden summa.
Menikö oikein tähän asti?
Sitten seuraa kysymys. Tunteeko kukaan matematiikan historiaa niin tarkkaan, että voisi ottaa kantaa: muodostiko Pythagoras lausekkeensa nimenomaan skalaaritulon kautta?
Eikö kolmion sivuja voi ajatella vektoreiksi, ja saadaan algebrallisesti laskien (a b)^2 lausekkeen kautta mm. skalaaritulo 2ab, joka osoittautuu nollaksi, ja sitten jää a^2 b^2. Tälläkö tavalla Pythagoras muodosti kaavansa, vai miten? Empiirisesti mittausten perusteellako - piirtelemällä suorakulmaisia kolmioita, ja päättelemällä sitten mittaustuloksista yleistyksen, että hypotenuusa on aina tietyn mittainen suhteessa kateetteihin?
https://fi.wikipedia.org/wiki/Pythagoraan_lause
https://fi.wikipedia.org/wiki/Pistetulo
http://matwww.ee.tut.fi/jkkm/vektorit/vekto07.htm
https://peda.net/sievi/sievin-lukio/oppiaineet2/mp/4vektorit/tkapp/luku-3-2:file/download/dd1681b01956b91d8724e44c34847fc1db55c4dc/Vektorit_MAA5_LUKU3.2.pdf
Vastaukset 9
Vanhimmat
Ei ole pakko ajatella sinne päinkään, mitä kysyt vaan tavallista perusgeometriaa vaan:
Pythagoraan lauseen yksi perinteinen todistus:
Olkoon suorakulmainen kolmio sivut a,b, hypotenuusa c. Piirretään hypotenuusaa kohti korkeusjana, joka jakaa c:n osiin p ja q niin että c=p q.
Yhdenmuotoisista kolmioista suhteet c:a=a:p ja c:b=b:q, josta a^2=cp,b^2=cq, joten
a^2 b^2=cp cq=c(p q)=c^2
Eli pelkällä geometrialla on pärjätty, periaatteessa vaikka läpi historian; Juutuubista löytyy leikkaa/liimaa juttuja ja kai ne virallisestakin todistuksesta käy kun vaan tekee ne ns.hyvässä järjestyksessä ;)
Vektorit tuli käsittääkseni koulukirjoihin niihin aikoihin, kun joukko-oppi muoti-ilmiönä peruskoulukokeiluissa meni kiville. Vektorit on formaatti, mitä ilman - taas periaatteessa - koulujutuissa tulisi aivan hyvin laskennoissa toimeen, ne on vaan käytännöllisiä sitten kun pitää laskea ennen käsin tai nyt koneellisesti ohjelmoituna paljon, kuten esim.fysiikassa virtausjuttuja ja sellaisia.
Vektorit -otsikon alla on eri legopalikoita, esim.pistetulo, eristetty palikoiksi ihan vaan sillä, että sama muodollinen kuvio käytännössä toistuu niin usein, aluksi ei taideta koulukirjoissa sanoakaan, mitä mikin palikka irrallisena havaintomielessä merkkaisi. Joku matemaatikko saattaisi nähdä niissä operaattorin luonnetta siihen suuntaan kuin esim. -merkki tekee summan.
On vektoreilla matikkahistoriassa pitemmätkin juuret, tietty
mutta ei Pythagoras liene elementtirakentamisesta kovin perustanut, vaan siihen aikaan tiili tiileltä improvisointi ja viivotin/harppi kuviointi perusteiksi on tuntunut luontaisemmalta.
Siinäpä vapaata proosaa, joku tietävämpi laittanee linkkejä, jos matematiikan historia kiinnostaa.
Itselläni on käsityksiä, että
- Pythagoraan lausekkeen todistamiseen on runsaasti erilaisia keinoja, mutta
- ehkä juuri siksi on vaikeaa jälkiviisastella, pääsikö Pythagoras johtopäätökseensä juuri tällä tai jollain muulla tavalla. Ehkä useammalla?
Näissa väitetään, ettei lauseke ollut Pythagoraan itse keksimää alun perin ollenkaan:
http://www.opettajah.fi/2016/01/25/pythagoraan-luvut/
https://matta.hut.fi/matta2/isom/html/pythagor3.html
On myös Pythagoraan lukuja. Kokonaislukuja, jotka sopivat Pythagoraan lausekkeeseen. Esim. 3^2 4^2 =5^2. Olisiko hyödyllistä tätä asiaa tutkia pidemmälle; missä tällaista tietoa kokonaisluvuista voisi hyödyntää?
Aiheesta muita linkkejä:
https://opetus.tv/mab/mab2/pythagoraan-lause/
https://matematiikkalehtisolmu.fi/2009/kontra_h.pdf
Yksi käytännönsovellus noille Pythagoraan tripleteille esim. (3,4,5) on että niillä on helppo tehdä suorakulma. Esim, jos tekee narulenkkiin kaksitoista solmua tasavälein, niin kun sen muotoilee kolmioksi, jossa on sivuilla 3, 4 ja 5 solmunväliä, siihen tulee automaattisesti suora kulma. Tämä johtuu siitä, että Pythagoraan lause toimii myös toiseen suuntaan: jos sivut toteuttavat a^2 b^2=c^2, niin kolmio on suorakulmainen.
Tuossapa sulle pytäkoraan lauseen alkuperäinen todistus:
http://www.mattoteline.fi/punainenmatto/pythagoras2.php
ja takuuvarmaa on, ettäi vektorialkebralla ole mitään tekoa tuonaikaisen todistuksen kanssa
Toinenkin linkki kun tuollaisia tutkailet:
http://www.ultra-lehti.com/kolumnit/kolumni-501.html
Pythagoras oli aikansa todellinen nero!
Luulen kuitenkin, että P:n kantavaa lausetta johti pari oivallusta suorakulmaisista kolmioista, ei niinkään vektorialgebra.
Esimerkiksi. Jos Ympyrän sisään piirretään kolmio, jonka yksi sivu on 23, toinen 88 ja kolmas 69 astetta, niin mikä on kolmion leikkaaman suurimman palan pinta-alan (sekantin ja kaaren) suhde pienimpään (sekanttiin ja kaareen).
Osaako joku täällä ratkaista asian ilman analyysia, siis pelkästään geometrisin perustein, kuten Pythagoras?
En pidä mahdottomana, etteikö jossain muinaisessa kulttuurissa olisi voitu käyttää esim. vektorilaskentaa, mutta sitten tiedon kadota kulttuuriperinnöstä pois joksikin aikaa, jostain syystä (sodat, nälänhädät, luonnonmullistukset, epidemiat), ja sitten on voitu keksiä samaa uudelleen. Olihan joskus jotain kulttuuria muinaisilla egyptiläisillä, inkoilla, intialaisilla, jne. Kyseenalaista, onko kaikkia muinaisia keksintöjä voitu jäljittää ja dokumentoida jälkikäteen.
Muinaisilla kreikkalaisilla oli mm. tapa ajatella kuin luvut olisivat etäisyyksiä. Muistuttaa vektoreilla laskemista.
Mathologerilta ilmestyi vasta video Pythogoraan lauseesta:
https://www.youtube.com/watch?v=p-0SOWbzUYI
Kiitoksia linkistä. Mielenkiintoisia todistuksia.
Yllättävältä tuntui myös tuo suorakulmaisen särmiön kaava a^2 b^2 c^2 = d^2.
Mutta tottakai asia on ihan järkeenkäypä. En vain ollut ajatellut aiemmin juuri tuota asiaa.
Erikoista myös tuo, että Pythagoraan lausetta voisi soveltaa muihinkin pinta-aloihin kuin neliöihin.