Osaisikohan joku hieman auttaa tässä kiperässä ongelmassa. Tehtävä on Lontoon murteeksi kirjoitettu, joten kirjoitan sen sellaisenaan.
(i) Show that the product of two unequal transpositions is equal either to a cycle of length 3 or the product of two such cycles.
(ii) Let n be greater or equal than 3. Show that every even permutation can be expressed as a product of 3-cycles
(iii) What is the smallest subgroup of Sn that contains all the 3-cycles
Yrityksen poikasta olen saanut jokaisesta aikaan, mutta pieni varmistus joltain viisaalta tekisi terää.
(i) Show that the product of two unequal transpositions is equal either to a cycle of length 3 or the product of two such cycles.
(ii) Let n be greater or equal than 3. Show that every even permutation can be expressed as a product of 3-cycles
(iii) What is the smallest subgroup of Sn that contains all the 3-cycles
Yrityksen poikasta olen saanut jokaisesta aikaan, mutta pieni varmistus joltain viisaalta tekisi terää.
Vastaukset 3
Vanhimmat
(i) Olkoon j=k. Nyt (ij)(kl)=(ij)(jl)=(ijl). Jos taas i,j,k ja l kaikki keskenään erisuuria, on (ij)(kl)=(ijk)(jkl).
(ii) Huomaatko jotain yhteyttä tehtävään (i)?
(iii) 3-sykli on pienin parillinen sykli. Edelleen kaikki parilliset syklit voidaan esittää 3-syklien tulona. Siten kysytty ryhmä on A_n.
Kiitoksia paljon Puuhikki...
Voisitkohan hieman vielä selventää tuota (ii):tä?
Itsellä on niin monimutkainen todistus että sekosin itsekin, noin se ei voi mennä.
Siis kohta ii). Jokainen permutaatio voidaan esittää transpositioiden tulona. Jos permutaatio on parillinen, näitä transpositioita on parillinen määrä.
Tarkastellaan kahta peräkkäistä transpositiota. Kohdan i) perusteella tämä on mahdollista esittää identtisenä kuvauksena tai yhden tai kahden kolmisyklin tulona. Siten aina kaksi peräkkäistä transpositiota voidaan korvata identtisellä kuvauksella tai kolmisykl(e)illä. Koska transpositioita oli alunperin parillinen määrä, loppuun ei jää yhtään transpositiota ja eräs mahdollinen esitys löytyy.