Kuulostanee varmaan hölmöltä kysymykseltä, mutta en vaan hahmota asiaa. Tai siis, jos otan kaksi eri suuntaan osoittavaa vektoria, niin ne kaksi mahdollistavat tason. Esim. vektorit [1 0 0] ja [0 1 0]. Mitä jos minulla on x - 1 , 3 - 2x ja 5 ? Millainen aliavaruus tämä on P2:ssa? Miten sitä kuvaillaan geometrisesti?
Millä tavalla polynomi virittää avaruuden?
aivotsolmussa
5217
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 5
Vanhimmat
Se on 2-ulotteinen taso. Sen muodostavat korkeitaan astetta 1 olevat polynomit. Jos otat P_2:lle kannan {1, x, x^2}, niin kyseessä on ihan samalla tavalla (1,0,0):n ja (0,1,0):n virittämä taso kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa. Tällöin polynomin kertoimet ovat suoraan sen komponentit ja nuo polynomit x - 1 , 3 - 2x ja 5 ovat vektorit (-1, 1, 0), (3, -2, 0) ja (5, 0, 0).
Kaikki (äärellis) m-ulotteiset vektoriavaruudet ovat isomorfisia ja jokainen voidaan ajatella olevan R^m kun otetaan kanta, joka sitten määrää jokaiselle vektorille komponentit tässä kannassa.
Mutta tosiaan, se on vähän hankalaa esim. funktioiden graafeista tms. katsoa vaikka sitä kuuluuko jokin funktio johonkin funktioavaruuden aliavaruuteen. Tuossa yo. tapauksessa se tosin on helppoa, kun aliavaruuteen kuuluu vakiot ja lineaariset polynomit. Lisäksi esim. vaikka ortogonaalisuus (jos otetaan lisäksi sisätulo), niin eipä sitä taida mitenkään funktioista "päälle päin" visuaalisesti nähdä(?)
Kiitos! Tuo auttoi hahmottamaan asiaa!
Älä kirjoita, että m-ulotteiset vektoriavaruudet ovat isomorfisia vaan että ovat isomorfisia keskenään. Isomorfisuus vaatii aina kaksi objektia, jotka todetaan keskenään isomorfisiksi.
Jos minulla on joukko W := { x - 2 , x^2 - 6} , niin virittääkö tämä porukka koko korkeintaan toista astetta olevien polynomien avaruuden?
Joukossa W on vain kaksi vektoria, joten se voi virittää korkeintaan kaksiulotteisen avaruuden (ja tekeekin niin, sillä ko. polynomit ovat LI), mutta P_2 = {p polynomi, deg(p)<=2} on kolmiulotteinen joten sitä se ei voi virittää kokonaan.
Se viritys tarkoittaa kaikkia lineaarikombinaatioita joukon vektoreista eli kaikkia polynomeja muotoa
a * (x-2) b * (x^2-6)
= bx^2 ax - (2a 6b)
missä a ja b ovat reaalilukuja.
Huomaa, että näin ei saada kaikkia P_2;n polynomeja, sillä vakiotermi määräytyy, kun kiinnität kertoimet a ja b. (Tai ylipäätään jos kiinnität kaksi polynomin kerrointa, niin viimeinen määräytyy näistä.) Esim. polynomia x^2 x 1 ei saada, sillä tätä varten pitäisi olla a=1, b=1, mutta silloin vakiotermiksi tulee -8.