Elikkäs: Pelaaja nostaa korttipakasta 20 korttia. Millä tod.näk. Hän saa tasan kaksi kasia ja kaksi kuningatarta?
Miten tälläistä pitäs lähtee miettiin? oon pyöritelly vaikka millä luvuilla mutta ei jotenkin vain onnistu.... Varmaan otetaan kummiski ne kaikki 52 korttia huomioon?
Miten tälläistä pitäs lähtee miettiin? oon pyöritelly vaikka millä luvuilla mutta ei jotenkin vain onnistu.... Varmaan otetaan kummiski ne kaikki 52 korttia huomioon?
Vastaukset 8
Vanhimmat
Olkoon X kakkosten määrä 20 valitun kortin joukossa ja Y vastaavasti kuningattarien määrä.
Nämä ovat molemmat Hypergeometrisesti jakautuneet, parametrein N=52, M=4, n=20.
( ks. https://fi.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrinen_jakauma )
Kysytty tn. on P(X=2 ja Y=2).
Se voidaan laskea
P(X=2) * P(Y=2 | X=2)
Nyt "Y | {X=2}" on Hyperg(48, 4, 18)-jakautunut, sillä se tieto X=2 vaikuttaa siten, että kakkoset voi unohtaa ja ajatella, että valitaan vain loput 18 korttia pakan muista 48:sta kortista (joissa on siis yhä 4 akkaa).
Siten kysytty tn. on
( 4 C 2 * 48 C 18) / (52 C 20) ) * ( 4 C 2 * 44 C 16) / (28 C 18) )
Huomaa myös että tämä supistuu myös muotoon
(4 C 2) * (4 C 2) * (44 C 16) / (52 C 20),
joka saadaan sellaisella päättelyllä kuin "valitaan ensin 2 kakkosta 4 mahdollisesta, sitten 2 akkaa 4 mahdollisesta ja lopuksi 16 muista mahdollisista 44 kortista. Näin saadaan niiden käsien (järjestyksellä ei väliä) määrä, joissa on tasan 2 kakkosta ja akkaa. Jaetaan kaikkien mahdollisten 20 kortin käsien määrällä, joka on 52 C 20".
Se mikä tässä ainakin itseäni hämäsi on se, että onkos tällä väliä, kun valitaan kakkosia ja akkoja ja muita, niin onko sillä valintajärjestyksellä väliä vai miten se nyt menee, niin siksi lähdin vähän tuollaista formaalimpaa kautta, mutta samaan vastaukseen päätyi. Tuota vastauksen supistumista en tarkistanut muuta kuin laskimella :D.
Ai nii ne oli kaseja eikä kakkosia, no sillä ei ole väliä :D.
Ja tn:n arvo on likimain 0,119.
Hups, pitempään kaavaan tuli painovirhe, 28 C 18 viimeisen nimittäjässä, pitää olla tietenkin 48 C 18, ja sehän siellä supistuu saman luvun kanssa ensimmäisen osoittajassa, joten laskintakaan ei tuohon tarkastukseen tarvita.
Entä jos aina vedon jälkeen korttilaitetaan takaisin pakkaan; miten silloin lasketaan todennäköisyys 20stä tasa kaksi kasia ja kaksi kuningatarta?
Takaisinpano-tapauksessa on Hypergeometrisen tilalla Binomi. Ehdollinen kohta (Y=2 | X=2) menee ihan vastaavasti: unohda vain kasit ja sulla on Bin(18, 4/48) -jakautunut muuttuja.
[Mä laitoin jo vastauksen päivemmällä, muttei ollu ilmeisesti menny, no toivottavasti tämä mene...]
En täysin ymmärtänyt tuota; itse järkeilin seuraavasti. "Suotuisia" kortteja on 8 kpl (kasit ja kuningattaret), joten yhden sellaisen vedon tn 8/52. Tn neljälle "suotuisalle" on binomijakauman mukaan C(20,4)*(8/52)^4*(44/52)^16. Noista neljän "suotuisan" vedoista 6/16 on sellaisia, joissa on kaksi kasia ja kaksi kuningatarta. Koko tn on siis (6/16)*C(20,4)*(8/52)^4*(44/52)^16.
Sama vastaus tulee tolla munkii menetelmällä. Mun lopputulos on siis
P(X=2) * P(Y=2 | X=2)
= [ C(20, 2) * (4/52)^2 * (48/52)^18 ] * [ C(18, 2) * (4/48)^2 * (44/48)^16 ]
= C(20, 2) * C(18, 2) * 4^4 * 44^16 / 52^20
Tarkastin laskimella, että
C(20, 2) * C(18, 2) * 4^4 = (6/16)*C(20,4)*8^4.
Mikä tästä redusoituu, on kaava
C(20, 2) * C(18, 2) = 6 * C(20,4).
joka onkin esimerkki yleisestä kaavasta
C(a, b) * C(a-b, c) = C(b c, c) * C(a, b c),
joka tulee juuri siitä, että jos valitaan b c kappaletta a:sta (b yhteen pinoon ja c toiseen), niin voidaan tehdä niin, että ensin valitaan b kappaletta ja sitten lopuista c kappaletta; tai sitten tehdään niin, että valitaan ensin kaikki b c kappaletta a:sta ja sitten näistä valitaan, ne jotka laitetaan toiseen pinoon (tuo yo. kaavan oikea puoli siinä mielessä käänteisessä järjestyksessä).
Eli kyllä se idea sieltä tiristyy, kun jaksoi tarpeeksi kauan jaksoi kaivaa.
Noh, toivottavasti tästä laskeskelusta olisi jotain apua ehkä jollekulle muullekin :D.
Eli, joo, siinähän on just se, että sä valitset ensin kaikki suotuiset 4 ja sitten niistä valitset kaksi kasien pinoon, kun mä taas valitsen ensin kaksi suotuista kasia ja sitten kaksi suotuista kuningatarta.