Ysiluokan matematiikan valinnais kurssilla kävimme läpi lukion matematiikkaa (pitkää), ja yhdessä kirjassa tuli vastaan todella vaikea tehtävä. Ope päätti ettemme tee sitä koska se on liian vaikea meille, mutta itse haluaisin tietää miten se ratkaistaan. Tehtävä oli tämä:
13. Yritys valmistaa poikkileikkaukseltaan kuvan mukaisia rännikouruja, jotka valmistetaan
siten, että 30cm levyisestä metallilevystä taivutetaan levyn sivuilta 8cm levyiset kaistaleet
yhtä suureen kulmaan ylöspäin. Tehtävässä oli kuva mukana ja kulma a näytti olevan noin 70 asteen kulmassa molemmilla puolilla. --> \___/
a) Muodosta funktio A (a) joka määrää kourun poikkileikkauksen pinta-alan kulman a funktiona.
b) Arvioi graafisesti millä muuttujan α arvolla funktio saa suurimman arvonsa. Anna
vastaus sekä radiaaneina yhden desimaalin tarkkuudella että asteina asteen
tarkkuudella.
c) Ratkaise ääriarvoongelma myös analyyttisesti GeoGebran tai vastaavan CAStoiminnolla. Anna vastauksena funktion A derivaattafunktion lauseke, derivaatan nollakohdat, sekä funktion ääriarvot.
Ymmärrän sen, että a) kohdassa pitäisi käyttää noiden sivujen pituuksia apuna, b) kohdassa pitää siis vain arvioida?, c) kohdassa pitäisi käyttää jotain sovellusta tai pitkän matematiikan laskinta. Koska itse aion mennä lukioon ja pitkää matematiikkaa lukea, niin olisi kiva saada tämä näin kesän aika tehtyä, että olisi edes jonkinlaista tietoa minkälaisia tehtävien vastauksia pitää antaa. :)
13. Yritys valmistaa poikkileikkaukseltaan kuvan mukaisia rännikouruja, jotka valmistetaan
siten, että 30cm levyisestä metallilevystä taivutetaan levyn sivuilta 8cm levyiset kaistaleet
yhtä suureen kulmaan ylöspäin. Tehtävässä oli kuva mukana ja kulma a näytti olevan noin 70 asteen kulmassa molemmilla puolilla. --> \___/
a) Muodosta funktio A (a) joka määrää kourun poikkileikkauksen pinta-alan kulman a funktiona.
b) Arvioi graafisesti millä muuttujan α arvolla funktio saa suurimman arvonsa. Anna
vastaus sekä radiaaneina yhden desimaalin tarkkuudella että asteina asteen
tarkkuudella.
c) Ratkaise ääriarvoongelma myös analyyttisesti GeoGebran tai vastaavan CAStoiminnolla. Anna vastauksena funktion A derivaattafunktion lauseke, derivaatan nollakohdat, sekä funktion ääriarvot.
Ymmärrän sen, että a) kohdassa pitäisi käyttää noiden sivujen pituuksia apuna, b) kohdassa pitää siis vain arvioida?, c) kohdassa pitäisi käyttää jotain sovellusta tai pitkän matematiikan laskinta. Koska itse aion mennä lukioon ja pitkää matematiikkaa lukea, niin olisi kiva saada tämä näin kesän aika tehtyä, että olisi edes jonkinlaista tietoa minkälaisia tehtävien vastauksia pitää antaa. :)
Vastaukset 11
Vanhimmat
Kaistaleesi ovat pituudeltaan 8. Joten pohjan pituudeksi jää 30-2*8=14. Merkitään a=14
Poikkipinta-ala on puolisuunnikas, jonka pinta-ala A on kantojen keskiarvo (a b)/2 kertaa korkeus h.
Pitää selvitää korkeus h ja kanta b. Korkeus saadaan h=8*cos(a). kanta b=14 2*8*sin(a)=14 16*sin(a)
Nyt pinta-ala A=(a b)/2 * h = (14 14 16*sin(a))/2 * 8 cos(a)=(28 16*sin(a))/2 * 8*cos(a)
=(28 16*sin(a))*4*cos(a)
=112*cos(a) 64*sin(a)cos(a)
Tätä voi vielä sieventää kaksinkertaisen kulman kaavalla sin(2a)=2sin(a)cos(a)
eli A(a)=112cos(a) 32sin(2a) (jätin kertomerkit * pois)
Tuolla kaavalla pinta-ala lasketaan kun kulma a tunnetaan ja oletuksena on että taivutetaan ulospäin. Jos taivutetaan sisäänpäin eli kulma a on miinusmerkkinen niin lause muuttuu hieman.
Kun kulma a=0 astetta A(0)=112cos(0) 32sin(2*0)=112 32*0=112.
Kun kulma on maksimi 90 astetta eli oikoisenaan koko pelti, niin A(90)=112*cos(90) 32sin(2*90)=112*0 32*0=0, kuten pitääkin.
Sitten derivoidaan A eli saadaan A'(a)=-112sin(a) 32*2*cos(2a)=-112sin(a) 64cos(2a)
Merkitään derivaatta 0 ja ratkaistaan a eli
-112sin(a) 64cos(2a)=0 eli
64cos(2a)=112sin(a) eli
cos(2a)=1,75sin(a)
Trigonometriasta tiedetään, että cos(2a)=1-(sin(a))^2 (^potenssimerkki)
eli 1-sin^2(a)=1,75sin(a)
Merkitään x=sin(a) saadaan
1-x^2=1,75x eli -x^2-1,75x 1=0 eli x^2 1,75x-1=0 eli toisen asteen yhtälö, ratkaistaan käyttäen
ratkaisukaavaa x=(-1,75 /-sqrt(1,75^2-4*1*(-1)))/2=(-1,75 /-sqrt(7,0625))/2 ja sitten voit laskea likiarvon kahdelle x ratkaisulle ja seuraavaksi
ratkaiset yhtälöistä
sin(a)=x0 ja sin(a)=x1 luvun a eli
a=arcsin(x0) ja a=arcsin(x1) missä x0 ja x1 ovat ne 2.asteen yhtälön ratkaisusi.
Sitten vielä tarkastelet että a on halutulla välillä 0<a<90, jos ei ole hylkää ratkaisu. Jos ratkaisua ei tule ollenkaan on suurin A(0)=112, pienintä ei ole koska tuskin arvoa 0 hyväksytään.
Tässä hieman apuja. Ja joudut tosiaan tarkastelemaan nyt erikseen tilanteen kun a<0 eli taivutettu sisäänpäin, tee se. Ja tarkasta laskuni olenko tehnyt kirjoitusvirheitä niin opit tämän. Toivottavasti en paljastanut liikaa.
Olet ensiksi merkinnyt a=14 ja sitten käsittelet pinta-alaa a:n funktiona. Ei näin pidä tehdä.
cos(2a) = cos^2(a) - sin^2(a) = 1 - 2 sin^2(a).
Graafinen ratkaisu tarkoittaa ilmeisesti sitä, että piirretään cos(2a) ja 1,75sina kulman a funktiona samaan kuvaan, ja todetaan leikkaus kohdassa a hieman alle 30 astetta.
a on siis vaakatason ja tuon ylöspäin käännetyn sivun välinen kulma.
A(a) = 2* 1/2 * 8 sin(a) * 8 cos(a) 14* 8 sin(a) = 64 sin(a) cos(a) 112 sin(a)
A'(a) = 64 cos^2(a) - 64 sin^2(a) 112 cos(a) = 16 (8 cos^2(a) 7 cos(a) - 4)
A'(a) = 0 kun cos(a) = (- 7 /- sqrt(49 128)) / 16.
Juuret ovat a1 = 0,394 ja a2 = - 1,269.a2 ei käy sillä l cos(a) l <= 1.
a = arccos(0,394) = 66,8 astetta.
A'(a) vaihtaa etumerkin plussasta miinukseksi kun a kasvaa tuohon a1- arvoon ja menee sen yli joten kyseessä on maksimi .
Juuret ovat siis cos(a1) = 0,394 ja cos(a2) = -1,269 joka ei kelpaa. a1 = 66,8 astetta. Maksimipinta-ala on A(66,8).
Kirjoitin äsken huolimattomasti.
Okei, kiitos! Näyttää todella monimutkaiselta, enkä oikein älyä mitään mitä kirjoitit, mutta varmaan vuoden tai parin päästä osaan näitä sitten ihan hyvin :D Pitää siis valmistautua kirjoittamaan pitkiä vastauksia!
Mitä lyhyemmän vastauksen kirjoitat, sitä paremmat pisteet saat. Kunhan vastauksessa on kaikki oleelinen näkyvissä. Geogebra löytyy netistä.
Jos hoksaa, että poikkilekkauksen pinta-ala on pohjan leveys kertaa rännin korkeus. niin asia selkenee huomattavasti.
Höpö höpö! Ei se poikkileikkaus ollut suorakaide vaan puolisuunnikas, joka koostuu kahdesta kolmiosta ja yhdestä suorakaiteesta. Ja tämän suorakaiteen pinta-ala on tuo sanomasi. Unohdit nuo kolmiot eli sen että kyseessä on puolisuunnikas. Vain kun kulma a = 90 astetta pitää väitteesi paikkansa.
Oliko tosiaan niin vaikea lukea varsin lyhyttä ja yksinkertaista esitystäni?
Toi graafinen esitys on tässä vähään mietityttänyt, ja en tästä nyt oikein muuta saa irti. Jos tuon tarkasti piirtää, minä tosin annoin koneen piirtää, niin voi siitä kuvasta vastauksen halutulla tarkkuudella saadakin. Idea kuitenkin on piirtää sinkäyriä, ja toinen miinus-merkkisenä, jolloin pääsee arvioimaan summaa. https://aijaa.com/aB2CCh