Tänne ei voi laittaa alaindeksiin mitään, joten " an " tarkoittaa " a(n, joka on alaindeksissä) ". Sama on myös bn ja cn.
13. Suppenevatko vai hajaantuvatko seuraavat lukujonot? Jos jono suppenee niin määritä
jonon raja-arvo.
a) an = n
b) an = 3
c) an = 1/n
d) an = n^3
e) an = 1/n^3
f) an = (-1)^n
Pohdi ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia? Vai riippuuko väitteen totuus
lukujonoista?
g) Jos jonot an ja bn suppenevat, niin jono cn = an bn suppenee.
h) Jos jono an hajaantuu ja bn suppenee, niin jono cn = an bn hajaantuu
i) Jos jonot an ja bn suppenevat, niin jono cn = anbn suppenee
j) Jos jono an hajaantuu ja bn suppenee, niin jono cn = anbn hajaantuu
Siinäpä tekemistä teille, itse olen liian tyhmä näitä tekemään.
13. Suppenevatko vai hajaantuvatko seuraavat lukujonot? Jos jono suppenee niin määritä
jonon raja-arvo.
a) an = n
b) an = 3
c) an = 1/n
d) an = n^3
e) an = 1/n^3
f) an = (-1)^n
Pohdi ovatko seuraavat väitteet tosia vai epätosia? Vai riippuuko väitteen totuus
lukujonoista?
g) Jos jonot an ja bn suppenevat, niin jono cn = an bn suppenee.
h) Jos jono an hajaantuu ja bn suppenee, niin jono cn = an bn hajaantuu
i) Jos jonot an ja bn suppenevat, niin jono cn = anbn suppenee
j) Jos jono an hajaantuu ja bn suppenee, niin jono cn = anbn hajaantuu
Siinäpä tekemistä teille, itse olen liian tyhmä näitä tekemään.
Vastaukset 6
Vanhimmat
Mukavia kotitehtäviä koulusta.
13.
a) a(n) =n. Jono hajaantuu sillä n kasvaa rajatta.
b) a(n) = 3 . Jono suppenee, lim a(n) = 3.
c) a(n) = 1/n. Jono suppenee ja lim a(n) = 0.
d) a(n) = n^3. Jono hajaantuu. n^3 kasvaa rajatta.
e) a(n) = 1/n^3. Jono suppenee ja lim a(n) = 0.
f) a(n) = (- 1)^n. Jono hajaantuu, sillä se on - 1, 1, - 1, 1,... eikä lähesty mitään raja-arvoa vaan arvot ovat vuorotellen nuo - 1 ja 1.
g) tosi. Jos lim a(n) = A ja lim b(n) = B on lim c(n) = A B
h) Olkoon a(n)= n ja b(n) = 1. a(n) b(n) = n 1 ja tämä jono hajaantuu.
Tässä jätän sinulle mietittävää. Käykö näin aina vai löydätkö jonoja joista a(n) hajaantuu, b(n) suppenee ja a(n) b(n) suppenee?Tai pystytkö osoittamaan että tuollainen jono hajaantuu aina?
i) tosi. lim a(n) b(n) = A B
j) a(n) = (- 1)^n ja b(n) = 1 niin a(n) b(n) = (- 1) ^n joka siis hajaantuu.
a(n) = (- 1) ^n ja b(n) = (- 1)^n niin a(n) b(n) = (- 1)^(2n) = 1 ja siis suppenee.
Sori, tuo viimeinen esimerkki oli väärin. Siinähän molemmat jonot hajaantuvat mutta b(n)-jononhan piti olla suppeneva.En juuri nyt ehdi enempää.
Tai no, olkoon a(n) =(- 1)^n (hajaantuu) ja b(n) = 1/2^n (suppenee). a(n) b(n) = (- 1) ^n * 1/2^n eli jono on - 1/2, 1/4, - 1/8,... ja tämähän suppenee ja sen limes on 0.
Eipä näkynyt kysyjää vastaukset kiinnostavan.
Laitan nyt tuon h-kohdankin ratkaisun.
Jono a(n) hajaantuu ja jono b(n) suppenee.Oletetaan, että myös jono a(n) b(n) suppenee.
Lim b(n) = B ja lim (a(n) b(n) ) = L. Tällöin jono (a(n) b(n) - b(n)) = a(n) suppenee ja lim a(n) = L - B.
Siis a(n)-jonokin suppenee vastoin oletusta. Siis jono a(n) b(n) hajaantuu.
Hyvä kun täällä ratkotaan kotitehtävät, niin poika saa insinöörin paperit.