Lueskelin vanhoja pitkän matematiikan kirjojani ja vastaan tuli MAA10 kirjan yksi tehtävä. Lukiosta on se noin viisi vuotta niin enhän minä enää muista miten näitä piti tehdä... Tämä on sitten pitkä että varautukaa!
3. Useita funktioita voidaan arvioida niin kutsutuilla Taylorin polynomeilla. Tarkempi teoria ei kuulu tälle kurssille, mutta ideaa voi käsitellä karkeasti ottaen seuraavasti: Jos f(x) on sopiva funktio, niin sen kolmannen asteen Taylorin polynomi on T(x) = ( f(0)/0! )x^0 ( f'(0)/1! )x^1 ( f''(0)/2! )x^2 ( f'''(0)/3! )x^3 = f(0) f'(0)x ( f''(0)/2 )x^2 ( f'''(0)/6 )x^3. Vastaavasti neljännen asteen Taylorin polynomiin tulisi vielä lisäksi termi ( f''''(0)/4! )x^4 jne.
a) Laske kolmannen asteen Taylorin polynomit funktioille sinx ja cos x
b) Arvioi lukuja sin pii/4, cos pii/4, sin pii/6 ja cos pii/6 laskemillasi Taylorin polynomeilla. Miten paljon arviot poikkeavat tarkoista arvoista? Anna vastaus viiden desimaalin tarkkuudella.
Itselleni nykyään nämä on ihan hepreaa kun ei englantia opiskellessa tarvitse matematiikkaa :D
3. Useita funktioita voidaan arvioida niin kutsutuilla Taylorin polynomeilla. Tarkempi teoria ei kuulu tälle kurssille, mutta ideaa voi käsitellä karkeasti ottaen seuraavasti: Jos f(x) on sopiva funktio, niin sen kolmannen asteen Taylorin polynomi on T(x) = ( f(0)/0! )x^0 ( f'(0)/1! )x^1 ( f''(0)/2! )x^2 ( f'''(0)/3! )x^3 = f(0) f'(0)x ( f''(0)/2 )x^2 ( f'''(0)/6 )x^3. Vastaavasti neljännen asteen Taylorin polynomiin tulisi vielä lisäksi termi ( f''''(0)/4! )x^4 jne.
a) Laske kolmannen asteen Taylorin polynomit funktioille sinx ja cos x
b) Arvioi lukuja sin pii/4, cos pii/4, sin pii/6 ja cos pii/6 laskemillasi Taylorin polynomeilla. Miten paljon arviot poikkeavat tarkoista arvoista? Anna vastaus viiden desimaalin tarkkuudella.
Itselleni nykyään nämä on ihan hepreaa kun ei englantia opiskellessa tarvitse matematiikkaa :D
Vastaukset 2
Vanhimmat
Tässä faktaa aluksi:
http://people.math.sc.edu/girardi/m142/handouts/10sTaylorPolySeries.pdf
Siinä tekstissähän on selvästi sanottu miten nuo polynomit muodostetaan. Sinun on laskettava noiden derivaattojen arvot pisteessä x = 0 ja muodostettava polynomit kuten tekstissä kerrotaan.Funktiot ovat f(x) = sin(x) ja toisessa esimerkissä cos(x).
Sitten sijoitat saatuun polynomiin T(x) nuo x:n arvot ja lasket, mitä on T(pii/4), T(pii/6) noille polynomeille. Ja tarkat arvot sentään osannet laskea. sin(pii/4) = 1/sqrt(2) (sqrt = neliöjuuri),
sin(pii/6) = 1/2, cos(pii/4) = 1/sqrt(2) ja cos(pii/6) = sqrt(3) / 2.