Eli yhdessä tehtävässäni (integraali kurssilta) pitäisi laskea alueen pinta-ala. Tehtävän annossa on kaksi (2) suoraa ja yksi (1) käyrä. Näistä pitäisi sitten saada laskettua pinta-ala. Mitä minun tässä pitäisi oikein aloittaa?
Tässä on tehtävänanto: "Suorat y=(1/3)x ja y=3x ja käyrä y=(2/pii), kun x > 0 rajoittavat alueen. Mikä on alueen pinta-ala?"
Ajattelenko näitä taas liian vaikeasti ja onko tämä oikeasti ihan helppo tehtävä, vai onko tämä hieman hankalammasta päästä?
Tässä on tehtävänanto: "Suorat y=(1/3)x ja y=3x ja käyrä y=(2/pii), kun x > 0 rajoittavat alueen. Mikä on alueen pinta-ala?"
Ajattelenko näitä taas liian vaikeasti ja onko tämä oikeasti ihan helppo tehtävä, vai onko tämä hieman hankalammasta päästä?
Vastaukset 14
Vanhimmat
Mikä käyrä on y=(2/pii)?
Piirrä kuva. Sitten ratkaiset leikkauspisteet vaakasuoran y=2/pii ja noiden kahden suoran välillä. Näet, että pitää integroida 3x-(1/3)x ensimmäiseen lp asti ja siitä 2/pii-(1/3)x toiseen lp asti.
Kaikkien käyrien ja funktioiden kanssa kannattaa aina aloittaa piirtämällä kuva tilanteesta. Kuvasta pienen ajattelun kanssa selviää monikin asia.
Hyvin harvalla koululaisella tai opiskelijalla on sellainen hahmotuskyky, että selvitään ilman piirtämistä.
Tuliko sulla tuo käyrän yhtälö oikein, kun tuohan on vain suora y="vakio"?
Jos se on noin, niin alue on kolmio ja sen alan saat ehkä helpoimmin kun mietit noita suorilla y=3x ja y=1/3x olevia sivuja vektoreina ja käytät kaavaa, että ala on näiden virittämän determinantin itseisarvon puolikas.
Jos taas käyrä on jotain muuta, niin sitten täytyy vähän katsoa kuvasta minkänäköinen se alue on ja integroida. Helpoin on ehkä antaa x-koordinaatin juosta 0:sta viimeiseen leikkauspisteeseen suoran y=1/3x ja käyrän kanssa ja integroida korkeutta, joka suorasta y=1/3x on joko toiseen suoraan y=3x tai sitten käyrään, kumpi nyt aluetta siltä kohdalta rajoittaa (eli on alempana).
Tietenkin voit laskea tuon kolmiotapauksenkin integroimalla. Katso kohta, jossa y=2/pii alkaa rajoittamaan aluetta eli missä se leikkaa suoraa y=3x. Integraali jakautuu sitten tästä kahteen osaan.
Huom: jos käyrä leikkelee suoria useammissa kohdissa, niin ilmeisesti sillä rajoitetulla alueella tarkoitetaan, sitä ensimmäistä, joka syntyy. Luultavasti se alue on selkeästi yksikäsitteisesti nähtävissä kuvasta.
Tehtävä taitaa olla melko keskitason tehtävä. Ehkä hieman vaikeampi, sillä soveltamista tarvitaan jonkun verran.
Tässä lasketaan
https://www.youtube.com/watch?v=4FES-75Klc8
Merkitsen yksinkertaisuuden vuoksi a = 2/pii.Meillä on suorien y =x/3, y = a ja y = 3 x rajoittama alue A. Piirrä kuva!
Suora y = x/3 leikkaa suoran y = a kun x = 3a ja suora y = 3x leikkaa sen kun x = a/3.
1. Huomaat kuvasta, että kysytty pinta-ala on 1/2 * 3a * a - 1/2 * a/3 * a = 4 a^2 / 3. Suorakulmion puolikkaasta vähennettiin yhden kolmion ala ja jäljelle jäi kysytty ala.
2. Vektorilaskulla. R1 = 3a i a j. R2 = a/3 i a j. i x j = k.
Kysytty alavektori on 1/2 R1 x R2 = 1/2(3 a^2 - a^2/3) k = 4 a^2 / 3 k ja itse ala on tämän itseisarvo 4a^2/3.
Huomaa että otin vektorit siten että R1 -> R2 kun mennään positiiviseen kiertosuuntaan.i
3. Vektori-integraali. Alavektori = Int(R1,R2) (1/2 (R x dR)).
R = x i a j, dR = dx i. Rx dR = - a dx k.
Alavektori = - a/2 Int(R1,R2) dx k = a/2 ( x(R1) - x(R2)) k = a/2 (3a - a/3) k = 4 a^2 /3 k ja itse ala siis tämän itseisarvo 4 a^2/3.
4. Differentiaalimuodot Stokesin lause:
Kysytty alue oli A ja sen reuna = dA. Tämän reunan muodostavat nuo alussa mainitut suorat.
Kysytty pinta-ala = Int(A:n yli) dx dy = Int(A:n yli) (d (1/2(x dy - y dx)) = Int(dA:n yli) (1/2(x dy - y dx)).(Differentiaalimuodoille pätee dx dy = - dy dx)
Pisteiden (0,0) ja 3a,a) kautta kulkevalla suoralla y = x/3 on
1/2 (x dy - y dx) = 1/2(x/3 - x/3) dx = 0
Pisteiden (0,0) ja (a/3, a) kautta kulkevalla suoralla y = 3 x on
1/2(x dy - y dx) = 1/2(3x - 3x) dx = 0.
Integraalista jää osa Int(3a , a/3) (1/2(- a dx) = 1/2 a (3a - a/3) = 4 a^2/3.
Jos differentiaalimuodot eivät ole tuttuja tämä tapa jäänee vähän oudoksi sinulle.
Loppuvastauksessa sijoitetaan a = 2/pii eli vastaus on 16/(3 pii^2)
Tietysti kaikista yksinkertaisinta on laskea suoraan tuon kolmion ala. Sen kannan pituus on 3a - a/3 = 8a/3 ja korkeus on a joten ala on 1/2 * a* 8a/3 = 4 a^2/3.
Annoitkohan sinä tehtävän oikein? Eipä tässä juuri integrointia tarvita.
5. Syötät arvot tietokoneeseen
No tehtävän alussa sanotaan, että se on esitetty integraalikurssilla. Siksi varmaan odotetaan integrointiratkaisua, eikä vektoriratkaisua, geometrista ratkaisua tai ratkaisua "tietokoneen avulla". Yritin tuossa kolmannessa vistissä kertoa, miten se ratkaistaisiin lukiotason integroinnilla, mutta se ei näköjään kelpaa.
Tehtävässä sanottiin että on annettu kaksi suoraa ja yksi käyrä.Tämä"käyrä" on y = 2/pii.Miksiköhän sitä sanottiin käyräksi vaikka muita kutsuttiin suoriksi?
Luulenpa edelleen että aloittaja on kirjoittanut tehtävän väärin. Ei taida kehdata astua esiin tunnustamaan? Eihän tehtävässä tämmöisenä ole oikein järkeä. Tyhmää ruveta integroimaan (vaikka sen mm. minäkin tein) tällaista alaa laskiessa.
täältä saa tietokoneratkaisun
Matematiikassa suorakin on käyrä :)
Kokeilkaa kirjoittaa käyrä y=(2/pii)x^2 eri tavoin.
y=(2/pii)x**2
y=(2/pii)x*x
En nyt saa jostain syystä tällä eritorílla (ja näppäimistöllä) onnistumaan pientä 2:n potenssimerkkiä. Onnistunee kopioimalla jostain muualta. Suomi24 näyttää mitä näyttää ja kaikki riippunee myös selaimesta. Joku näkee jotkut merkit eri tavoin ihan asetuksista riippuen.
y=(2/pii)x²
Näkyykö x²?