Montako r-säteistä palloa 3r-pallon sisälle?

palloja palloon mahtuu ainakin kaksi lisää

päällekkkinkin kirjoitti:

palloja palloon mahtuu ainakin kaksi lisää

Ahaa, eli "keskitasoon" 5, sitten vielä alle ja päälle kaksi? Jos olisi Autocad koneella niin voisi tarkastaa piirtämällä.

päällekkkinkin kirjoitti:

palloja palloon mahtuu ainakin kaksi lisää

ainakin yksitoista

päällekkkkkin kirjoitti:

ainakin yksitoista

Tuossa olet ihan oikeassa, mutta ...

Superpallo pomppi kakarana kivasti. Vieläköhän sellaisia on olemassa?

Onko "Kissing Numbers" sinulle tuttu juttu?

13 on varmasti täysin oikein, jos keskellä pitää olla pallo, jota kaikki muut koskettavat. Tyhjää tilaa on tuolloin kuitenkin lähes kahdelle pallolle. Tilaan ei kuitenkaan saada sopimaan yhtään kokonaista palloa. Jos keskimmäinen pallo poistetaan, saataisiinko vapaana olevaan tilaan muiden pallojen pienillä liikutteluilla kaksi palloa? Vastaus olisi silloin 14. En ole löytänyt netistä vielä vastausta.

Luulen että enempää ei mahdu. Jos kuuden kehän keskeltä poistetaan yksi pallo, eivät nuo kehäpallot pääse liikkumaan, koska ovat kiinni toisissaan ja koko pallon isoympyrällä. Kaksi viiden pallon kehää voitaisiin asettaa lomittain päällekkäin, mutta sen jälkeen mahtuisi vain kaksi palloa.

NoinhanSeOn kirjoitti:

Luulen että enempää ei mahdu. Jos kuuden kehän keskeltä poistetaan yksi pallo, eivät nuo kehäpallot pääse liikkumaan, koska ovat kiinni toisissaan ja koko pallon isoympyrällä. Kaksi viiden pallon kehää voitaisiin asettaa lomittain päällekkäin, mutta sen jälkeen mahtuisi vain kaksi palloa.

Lue lisää

Kehällä olevat pallot eivät kaikki ole kiinni toisissaan, ja niitä voidaan liikutella ihan vapaasti ja vaihtaa kahden mielivaltaisen pallon paikkaa keskenään. Vapaata tilaa on vaikka muille jakaa. Siitähän koko vuosisatoja kestänyt kiista alkoi. Kehäpallot ovat kyllä kiinni isossa pallossa ja keskellä olevassa pallossa. Jos keskipallo poistetaan 12 tukipistettä katoaa ja kehäpallojen liikkuvuus paranee. Jokainen niistä voisi siirtyä kohti keskustaa.

Kesti hetki tajuta, että kysehän on yleisesti siitä, kuinka suuren palloon voidaan pakata n kpl pientä palloa.
Heti löytyi Wikepediasta sivu:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing_in_a_sphere
ja tuos lopusta linkki isompiin pallomääriin. https://web.archive.org/web/20120330204037/http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/spisbest.txt

Tuosta katsomalla 14 palloa ei enää mahdu, joten vastauksesi 13 on todistettavasti oikea.

NoinhanSeOn kirjoitti:

Luulen että enempää ei mahdu. Jos kuuden kehän keskeltä poistetaan yksi pallo, eivät nuo kehäpallot pääse liikkumaan, koska ovat kiinni toisissaan ja koko pallon isoympyrällä. Kaksi viiden pallon kehää voitaisiin asettaa lomittain päällekkäin, mutta sen jälkeen mahtuisi vain kaksi palloa.

Lue lisää

Ongelmaa on selvitetty uudella Numberphile videolla:

https://www.youtube.com/watch?v=LZ7X_YOfJqY

Ja siitähän ongelmani tietysti syntyi!

Kyllä kai ne kuusi kehäpalloa ovat kiinni toisissaan. Kolmen pallon keskipisteet muodostavat kolion, jonka huippukulma on 120 astetta ja kanta noin 5,5 (pallon säde 1). Tuossa muodostelmassa yksi pallo ei pääse liikkumaan kohti keskustaa, vaikka keskuspallo olisi poissa, mutta voidaan tietysti nostella pois ja asettaa toiseen järjestykseen.

NoinhanSeOn kirjoitti:

Kyllä kai ne kuusi kehäpalloa ovat kiinni toisissaan. Kolmen pallon keskipisteet muodostavat kolion, jonka huippukulma on 120 astetta ja kanta noin 5,5 (pallon säde 1). Tuossa muodostelmassa yksi pallo ei pääse liikkumaan kohti keskustaa, vaikka keskuspallo olisi poissa, mutta voidaan tietysti nostella pois ja asettaa toiseen järjestykseen.

Lue lisää

Ovat todellakin kiinni tuossa yksitäisessä tilaa tuhlaavassa täysin optimoimattomassa vaihtoehdossa. Voi ehkä kestää ravistelunkin tai sitten ei. Alla video pingispalloilla toteutetusta optimoidummasta rakenteesta. Newton käytti tuossa tarinan mukaan hänen päähänsä pudonneita omenoita!

https://www.youtube.com/watch?v=MK4IQ5umeYs

https://web.archive.org/web/20120330204037/http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/spisbest.txt

Tuossa aiemmin oli esillä tuo laskelma, minkä säteisiä palloja saadaan maksimissaan sisään palloon, jonka säde on yksi. Siinä tuo 13 pallon konfiguraatio antaa säteen 0,3333333.... jos ymmärtäisit asiaa, aika optimoitua eikä hirveästi liikkumavaraa. Videoita katsoessa voi tietysti tehdä vaikka nitä johtopäätöksiä, mutta matematiikka kertoo toista.

MontakoPalloaPallossa kirjoitti:

Kehällä olevat pallot eivät kaikki ole kiinni toisissaan, ja niitä voidaan liikutella ihan vapaasti ja vaihtaa kahden mielivaltaisen pallon paikkaa keskenään. Vapaata tilaa on vaikka muille jakaa. Siitähän koko vuosisatoja kestänyt kiista alkoi. Kehäpallot ovat kyllä kiinni isossa pallossa ja keskellä olevassa pallossa. Jos keskipallo poistetaan 12 tukipistettä katoaa ja kehäpallojen liikkuvuus paranee. Jokainen niistä voisi siirtyä kohti keskustaa.

Kesti hetki tajuta, että kysehän on yleisesti siitä, kuinka suuren palloon voidaan pakata n kpl pientä palloa.
Heti löytyi Wikepediasta sivu:
https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_packing_in_a_sphere
ja tuos lopusta linkki isompiin pallomääriin. https://web.archive.org/web/20120330204037/http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/spisbest.txt

Tuosta katsomalla 14 palloa ei enää mahdu, joten vastauksesi 13 on todistettavasti oikea.

Lue lisää

Jos isomman pallon säteen kasvattaa 3,09115r:ksi, niin siihen saadaan mahtumaan yksi pallo lisää eli 14 palloa. Löytyykö mistään kuvaa, kuva-animaatiota tai sanallista selitystä pallojen sijoittelusta? Oletetaan lähtökohtana olevan 13 palloa 3r-säteisessä pallossa.

NoinhanSeOn kirjoitti:

https://web.archive.org/web/20120330204037/http://www.randomwalk.de/sphere/insphr/spisbest.txt

Tuossa aiemmin oli esillä tuo laskelma, minkä säteisiä palloja saadaan maksimissaan sisään palloon, jonka säde on yksi. Siinä tuo 13 pallon konfiguraatio antaa säteen 0,3333333.... jos ymmärtäisit asiaa, aika optimoitua eikä hirveästi liikkumavaraa. Videoita katsoessa voi tietysti tehdä vaikka nitä johtopäätöksiä, mutta matematiikka kertoo toista.

Lue lisää

Yritä pysyä asiassa ja perehdy hiukan historiaan ja ongelman ytimeen! Palloja on aina kokonaislukumäärä, joten taulukon luku 0,3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 ei kerro mitään optimointiasteesta. Se vastaa 3*r:ää. Ei mitään muuta. Ja kuten aikaisemmin on todettu, 14 palloa saadaan mahtumaan 3,09115*r:n palloon. Se kertoo jotain.

14Pingispalloa kirjoitti:

Jos isomman pallon säteen kasvattaa 3,09115r:ksi, niin siihen saadaan mahtumaan yksi pallo lisää eli 14 palloa. Löytyykö mistään kuvaa, kuva-animaatiota tai sanallista selitystä pallojen sijoittelusta? Oletetaan lähtökohtana olevan 13 palloa 3r-säteisessä pallossa.

Lue lisää

Tuossa linkissä on oikeanpuoleiseen kuvaan lisätty keskuspallon ympärille yksi pallo lisää. Palloja siis yhtensä 14.

https://physicsforme.com/2013/02/19/the-science-of-sticky-spheres/

Ison pallon halkaisijan väitettään kasvavan n. 5 %. Taulukon mukaan 14 palloa saadaan mahtumaan isoon palloon kasvattamalla sen sädettä n. 3 %. Ratkaisussa ei siis ehkä olekaan keskuspalloa?? Joku löytää kuvan varmasti!

MontakoPalloaPallossa kirjoitti:

Yritä pysyä asiassa ja perehdy hiukan historiaan ja ongelman ytimeen! Palloja on aina kokonaislukumäärä, joten taulukon luku 0,3333333333333333333333333333333333333333333333333333333 ei kerro mitään optimointiasteesta. Se vastaa 3*r:ää. Ei mitään muuta. Ja kuten aikaisemmin on todettu, 14 palloa saadaan mahtumaan 3,09115*r:n palloon. Se kertoo jotain.

Lue lisää

Jos se ison pallon säde kasvaa lukuun 3,09 eli 1,03-kertaiseksi, kasvaa tilavuus 9,3 %. Saadaan lisättyä 14. pallo, eli sisällä olevien pallojen tilavuus kasvaa 7,7 %. Minulle se kertoo johtopäätöksenä, että tuo 13 pallon rykelmä on tiiviimpi kuin 14 pallon rykelmä. Mitähän se sinulle mahtaa kertoa?

Vielä selvennykseksi. Alkuperäinen tehtävä oli, kuinka monta säteen 1 omaavaa palloa saadaan säteen 3 omaavan pallon sisälle. Vastaus oli 13. Tuo luku 0.333333.... kertoo, että noiden 13 pallon sädettä ei voisi kasvattaa hitustakaan, muutoin eivät enää mahtuisi ison pallon sisälle.

NoinhanSeOn kirjoitti:

Vielä selvennykseksi. Alkuperäinen tehtävä oli, kuinka monta säteen 1 omaavaa palloa saadaan säteen 3 omaavan pallon sisälle. Vastaus oli 13. Tuo luku 0.333333.... kertoo, että noiden 13 pallon sädettä ei voisi kasvattaa hitustakaan, muutoin eivät enää mahtuisi ison pallon sisälle.

Lue lisää

Älä vaida keskustelua kesken kaiken ja rupea selittelemään jotain peruskoulutason juttuja itsellesi. Ja vetoamaan jälkiviisaasti arvoon, jonka kerroin sinulle antamassani taulukossa. Ei liity mitenkään tähän keskusteluun!

Tämä keskusteluhan alkoi siitä esittämästäsi symmetrisestä jokaiselle ensiksi mieleen tulevasta itsestään selvästä sijoittelusta. Jos ja kun yritetään sijoittaa yksi pallo lisää, on yritettävä sijoittaa pallot siten, että muodostusi yksi yhtenäinen mahdollisimman suuri tila. Sitä voi joskus kuvata tilaan sopivan pallon halkaisijana. Esim. 0,7 (0,7*r). Tätä voi joissakin tilanteissa käyttää sijoittelun optimoinnin arvioimiseen. Mikä on sen helpon symmetrisen sijoittelun optimointiaste? Onko havaittavissa mitään yritystä parempaan? Siiinä lyhyen videon sijoittelussa on selvää yritystä yrittää mahduttaa yksi pallo lisää.

Siitä pallojen pakkaus Wikipedia jutusta näkyy miten 6 palloa mahtuu samaan tilaan kuin 5 palloa. Sama juttu 11 ja 12 pallon kanssa. Joissakin tilanteissa 5 pallon sijoittelu kannattaa esittää sellaisena, että siinä on valmiina vapaa paikka 6:lle pallolle eikä tyytyä siihen helppoon Wikipedia kuvassakin näkyvään symmetriseen helposti piirrettävään 5 pallon sijoitteluun. Näin siis jos asioita tarkastellaan matemaattisesti ja yritetään löytää ja todistaa jotain uutta. Siis ihan itse ilman toisten apua.

Et näköjään vieläkään tajua, että tuo 13 pallon pakkaus on joka puolelta sivuamssa suurta palloa. Ensin on keskuspallo ja sen ympärillä kehässä samassa tasossa 6 palloa; jotka sivuavat isoa palloa. Sitten on tuon rakennelman päällä "koloissa" 3 palloa, jotka ovat kiinni toisisaan ja kolmessa alla olevassa pallossa. Jo spiirretään keskuspallon keskipisteestä suora yhden päällä olevan pallon keskipisteen kautta, se leikkaa pallon toisen pinnan kolmen säteen päässä, eli siinä on sinuamispiste suuren pallon kanssa. Kyseessä on systeemi, jossa pallot eivät pääse liikkumaan muutoin kuin pyörimällä keskipisteen ympäri. Eli optimaalinen kaiken kaikkiaan.

NoinhanSeOn kirjoitti:

Et näköjään vieläkään tajua, että tuo 13 pallon pakkaus on joka puolelta sivuamssa suurta palloa. Ensin on keskuspallo ja sen ympärillä kehässä samassa tasossa 6 palloa; jotka sivuavat isoa palloa. Sitten on tuon rakennelman päällä "koloissa" 3 palloa, jotka ovat kiinni toisisaan ja kolmessa alla olevassa pallossa. Jo spiirretään keskuspallon keskipisteestä suora yhden päällä olevan pallon keskipisteen kautta, se leikkaa pallon toisen pinnan kolmen säteen päässä, eli siinä on sinuamispiste suuren pallon kanssa. Kyseessä on systeemi, jossa pallot eivät pääse liikkumaan muutoin kuin pyörimällä keskipisteen ympäri. Eli optimaalinen kaiken kaikkiaan.

Lue lisää

3 6 3 = 12
4 4 4 = 12

Laita pöydälle neljä palloa neliöön ja niiden päälle keskuspallo. Sitten ajattele kasaavasi neljän pallon päälle 4 uutta palloa ja näiden päälle vielä 4 palloa. Voit ahtaa mielessäsi tämän 13 pallon rakennelman 3r-pallon sisään. Vääntäytyy automaattisesti johonkin niistä lukemattomista löysistä vaihtoehdoista. Ei tietystikään 3 6 3 kolmiohilarakenteeseen. Käytännössä siihenkin päässee pienellä klonksautuksella. Ainakin pingispallojen kanssa. Joustavia pistemäisiä kontaktipintoja yli 30 kpl. Pallojen pakkaaminen suljettuun tilaan on yleisessä tapauksesssa vaikea optimointitehtävä.

Samaan tuokseen pääsee poraamalla 3r-pallon kylkeen 2r-reikä ja laittamalla sinne yksitellen 13 palloa. Eivät koskaan asetu 3 6 3 tilaan!

NoinhanSeOn kirjoitti:

Et näköjään vieläkään tajua, että tuo 13 pallon pakkaus on joka puolelta sivuamssa suurta palloa. Ensin on keskuspallo ja sen ympärillä kehässä samassa tasossa 6 palloa; jotka sivuavat isoa palloa. Sitten on tuon rakennelman päällä "koloissa" 3 palloa, jotka ovat kiinni toisisaan ja kolmessa alla olevassa pallossa. Jo spiirretään keskuspallon keskipisteestä suora yhden päällä olevan pallon keskipisteen kautta, se leikkaa pallon toisen pinnan kolmen säteen päässä, eli siinä on sinuamispiste suuren pallon kanssa. Kyseessä on systeemi, jossa pallot eivät pääse liikkumaan muutoin kuin pyörimällä keskipisteen ympäri. Eli optimaalinen kaiken kaikkiaan.

Lue lisää

Vaikea käsittää mitä ajat takaa? Selittelet itsestäänsevyyksiä asiasta selvästi jotain ymmärtävälle. Miksi?

Ulkokehällä olevien pallojen keskipisteet sijaitsevat 2r-säteisen pallon pinnalla. Keskipisteiden etäisyys toisistaa on oltava vähintään 2r. Tasasivuinen (2r) kolmio. Tuosta voi päätellä, että r-säteisen keskuspallon kosketuspintojen on oltava vastaavasti vähintään r:n päässä toisistaan.

Piirrä tussilla mille tahansa löytämällesi pallopinnalle kaksi pistettä harpilla mitattuna pallon säteen etäisyydelle toisistaan. Sen jälkeen piirrät kolmannen ja neljännen pisteen r:n etäisyydelle näistä kahdesta pisteestä. Onnistuu harpin kanssa helposti ja riittävän tarkasti. Piirrä vastaavalla tavalla lisää pisteitä näiden neljän pisteen ulkopuolelle siten, että jokainen piste on r:n päässä kahdesta muusta pisteestä. Saat mahtumaan 12 pistettä. Ne viimeiset pisteet ovat hiukan yli r:n päässä toisistaan. Huomaat, ettei muodostu mitään 6 pisteen suoraa rengasta kuten helpossa 6 3 3 ratkaisussa. Esittämäsi rakenne on siis todistetavasti vain yksi erikoistapaus, jota ei kannata tai edes voi käyttää haettaessa tilaa 13:lle kehäpallolle. Selviää myös ongelman matemaattisissa todistuksissa. Hiukan pitkiä ja vaikeita lukea.

Netistä löytyy tietoa pisteiden muodostamista pallokolmioista ja kuvia niillä verkotetuista palloista. Hankalia laskuja, joten niihin ei kannata syventyä, ellei opiskele maanmittariksi tai lentoreittien yms suunnittelijaksi.

PallokolmiaGeometriaa kirjoitti:

Vaikea käsittää mitä ajat takaa? Selittelet itsestäänsevyyksiä asiasta selvästi jotain ymmärtävälle. Miksi?

Ulkokehällä olevien pallojen keskipisteet sijaitsevat 2r-säteisen pallon pinnalla. Keskipisteiden etäisyys toisistaa on oltava vähintään 2r. Tasasivuinen (2r) kolmio. Tuosta voi päätellä, että r-säteisen keskuspallon kosketuspintojen on oltava vastaavasti vähintään r:n päässä toisistaan.

Piirrä tussilla mille tahansa löytämällesi pallopinnalle kaksi pistettä harpilla mitattuna pallon säteen etäisyydelle toisistaan. Sen jälkeen piirrät kolmannen ja neljännen pisteen r:n etäisyydelle näistä kahdesta pisteestä. Onnistuu harpin kanssa helposti ja riittävän tarkasti. Piirrä vastaavalla tavalla lisää pisteitä näiden neljän pisteen ulkopuolelle siten, että jokainen piste on r:n päässä kahdesta muusta pisteestä. Saat mahtumaan 12 pistettä. Ne viimeiset pisteet ovat hiukan yli r:n päässä toisistaan. Huomaat, ettei muodostu mitään 6 pisteen suoraa rengasta kuten helpossa 6 3 3 ratkaisussa. Esittämäsi rakenne on siis todistetavasti vain yksi erikoistapaus, jota ei kannata tai edes voi käyttää haettaessa tilaa 13:lle kehäpallolle. Selviää myös ongelman matemaattisissa todistuksissa. Hiukan pitkiä ja vaikeita lukea.

Netistä löytyy tietoa pisteiden muodostamista pallokolmioista ja kuvia niillä verkotetuista palloista. Hankalia laskuja, joten niihin ei kannata syventyä, ellei opiskele maanmittariksi tai lentoreittien yms suunnittelijaksi.

Lue lisää

Riittääkin todella tutkiskella vain keskuspallon pinnan pisteitä. Jostakin todistuksesta luin, että 1-halkaisijaisen pallon ymprille voidaan sijoittaa 13 kpl 0,91647 halkaisijaista palloa. Vastaa wikipedia taulukon arvoa ja tarkempia taulukoita.

Helppo kokeilla Python-ohjelmalla numeerisesti origoon sijoitetulla yksikköpallolla (x^3 y^3 z^3 = 1). Eka piste (0,1,0) ja toinen voidaan laskea ihan tasogeometrilla (z=0). Viimeisimmänkin (13.) pisteen sijoitus saattaa onistua ihan suoraan verkottamalla pallon pinnan pisteet 0,916468106684034 etäisyydelle (segmentti) kahdesta edellisestä pisteestä. Jos onnistuu ilman mitään säätöjä, aikaa menee muutama ms kaikkine ristitarkistuksineen. Jos ei onnistu, aikaa voi mennä ikuisuus.

Kuka ehtii kokeilla ensin?

PythonillaHelppoa kirjoitti:

Riittääkin todella tutkiskella vain keskuspallon pinnan pisteitä. Jostakin todistuksesta luin, että 1-halkaisijaisen pallon ymprille voidaan sijoittaa 13 kpl 0,91647 halkaisijaista palloa. Vastaa wikipedia taulukon arvoa ja tarkempia taulukoita.

Helppo kokeilla Python-ohjelmalla numeerisesti origoon sijoitetulla yksikköpallolla (x^3 y^3 z^3 = 1). Eka piste (0,1,0) ja toinen voidaan laskea ihan tasogeometrilla (z=0). Viimeisimmänkin (13.) pisteen sijoitus saattaa onistua ihan suoraan verkottamalla pallon pinnan pisteet 0,916468106684034 etäisyydelle (segmentti) kahdesta edellisestä pisteestä. Jos onnistuu ilman mitään säätöjä, aikaa menee muutama ms kaikkine ristitarkistuksineen. Jos ei onnistu, aikaa voi mennä ikuisuus.

Kuka ehtii kokeilla ensin?

Lue lisää

Unohtui skaalata tuo segmentin pituus yksikköympyrän kehälle. Segmentin pituudeksi näyttäisi tulevan 0,478206813610768. Pitää tarkistaa! Ja laskea ohjelmassa.