Todistuksessa käytetyt kaavat:
(1) 1 = sqrt(1)
(2) 1 = (-1) • (-1)
(3) sqrt(a • b) = sqrt(a) • sqrt(b)
(4) sqrt(-1) = i
(5) a • a = a^2
(6) i^2 = -1
1 = sqrt(1) = sqrt( (-1) • (-1) ) = sqrt(-1) • sqrt(-1) = i • i = i^2 = -1
Laskinko oikein? Jos en, niin missä kohtaa on virhe?
(1) 1 = sqrt(1)
(2) 1 = (-1) • (-1)
(3) sqrt(a • b) = sqrt(a) • sqrt(b)
(4) sqrt(-1) = i
(5) a • a = a^2
(6) i^2 = -1
1 = sqrt(1) = sqrt( (-1) • (-1) ) = sqrt(-1) • sqrt(-1) = i • i = i^2 = -1
Laskinko oikein? Jos en, niin missä kohtaa on virhe?
Vastaukset 7
Vanhimmat
(4) ei ole oikein. Pitäisi olla = -i.
https://www.youtube.com/watch?v=5iCoBU0o86Q
sqrt( (-1) • (-1) ) = sqrt(-1) • sqrt(-1) , tuohan meinaa:
((-1)●(-1))^½ = (-1)^½ ● (-1)^½), murtopotenssia ei ole määritelty negatiivisella kantaluvulla, eli ei voi tehdä tuota hajotusta, koska siinä voidaan päätyä juuri tuohon virheelliseen lopputulokseesi
Missä ei ole määritelty? Mieti hetki!
Kaava 3 on määritelty vain reaalisille ei-negatiivisille luvuille, koska se ei päde kompleksitasossa kompleksijuuren päähaaralla.
Kaikille reaaliluvuille a tosin pätee sqrt(a^2) = |a|. Siis 1 = sqrt((-1)*(-1)) = sqrt((-1)^2) = |-1| = 1.
Väärin lhhh!Kyllä kaava 3 pätee.
Olkoon z = a e^(is) ja w = b e^(it).
z*w = ab e^(i(s t)). (z*w)^(1/2) = (ab)^(1/2) * e^(i (s t)/2) = a^(1/2) e(i(s/2)) * b^(1/2) e^(i(t/2)) = z^(1/2) * w^(1/2).
Aloittajan virhe kyllä piilee siinä, että Z = z^(1/2) on kaksihaarainen funktio .
1^(1/2) = e^(i(0 k* 2 pii)/2) missä k= 0 päähaaralla ja k = 1 sillä toisella.
Siis päähaaralla 1^(1/2) = e^0 = 1 ja toisella haaralla 1^(1/2) = e^(i pii) = - 1.
Ja (- 1)^1/2 = e ^(i pii/2) = i päähaaralla ja (- 1)^(1/2) = e^(i 3 pii /2) = - i toisella haaralla.
Ohman4 = Ohman3 = Ohman
Pannaan nyt lisäkommentti. Päähaaralla on sqrt(1) = (e^0 i)^(1/2) = e^(0 i) = e^0 = 1.
Mutta nyt aloittaja kirjoittaa sqrt(1) = sqrt( (- 1) * ( - 1)). Yhtälön oikea puoli voidaan kirjoittaa
sqrt(e^(i pii) * e^(i pii)) = sqrt(e^(i * 2 pii)) = e^(i pii) = - 1.
.Mutta tämä on sqrt(1) :n arvo sillä toisella haaralla k = 1, sillä funktion z^(1/2) =( r e^(is)) ^(1/2) =
r^(1/2) * e^(i s/2) päähaaralla argumentti s on on välillä 0 <=s < 2 pii ja 0 <= s/2 < pii. Kirjoittamalla tuon yhtälön aloittaja on samaistanut päähaaran k = 0 ja haaran k = 1 arvot
e^(0 i) ja e^(i pii) ja kirjoiittanut 1 = - 1.
Sulla on toi kolmosen vasen puoli laskettu väärin:
sqrt(a●a)= a, ja nyt koska a=-1, niin vasemmastakin puolesta tulee -1