Olkoon (an) jono, jolle lim an = 0 (n lähestyy ääretöntä) ja olkoon bn rajoitettu jono. Osoita, että
lim an*bn =0 (n lähestyy ääretöntä)
Olen vähän jumissa tämän kanssa, kun tiedän että raja-arvon laskusääntöjä ei voi käyttää tässä tapauksessa, koska rajoitettu jono ei suoraan tarkoita että se myös suppenisi, ja suppeneminenhan niissä oli ehtona.
Voisinko perustella tuota sillä, että koska bn on rajoitettu, sen voi kertoa nollalla ts. ei voi tulla tilannetta ääretön kertaa nolla? Esimerkin kautta tuo olisi helppo, kun voisin valita an = 1/n ja bn = (-1)^n , mutta yleisen todistamisen muotoileminen tuntuu hankalalta. Voiko joku auttaa?
lim an*bn =0 (n lähestyy ääretöntä)
Olen vähän jumissa tämän kanssa, kun tiedän että raja-arvon laskusääntöjä ei voi käyttää tässä tapauksessa, koska rajoitettu jono ei suoraan tarkoita että se myös suppenisi, ja suppeneminenhan niissä oli ehtona.
Voisinko perustella tuota sillä, että koska bn on rajoitettu, sen voi kertoa nollalla ts. ei voi tulla tilannetta ääretön kertaa nolla? Esimerkin kautta tuo olisi helppo, kun voisin valita an = 1/n ja bn = (-1)^n , mutta yleisen todistamisen muotoileminen tuntuu hankalalta. Voiko joku auttaa?
Vastaukset 6
Vanhimmat
Helpointa on ehkä näyttää suoraan määritelmän perusteella. Olkoon e>0...
Sinun pitää löytää N, jolle |a_n * b_n| < e, kun n>N.
Jono b_n rajoitettu tarkoittaa |b_n| < M, kaikilla n jollekin vakiolle M.
Jonon a_n nollaan meneminen antaa sinulle mahdollisuuden viedä |a_n| kuinka pieneksi tahansa jostain indeksistä lähtien. Miten pieneksi se nyt tarvitaan, jotta tuo haluttu e(psiloni):n sisältävä epäyhtälö tulee voimaan?
Tuossahan on selvästi valittava a_n < e/b_n
Mutta eikös tuo a_n kannata viedä nollaksi, silloinhan |0*b_n| < e , kun n>N?
Mutta se N ei saa riippua n:stä. Vinkki: käytä |b_n|<M.
Eikä sitä saa oikein silleen tehdä, että "vie a_n:n nollaksi", silloinhan se toimisi mille vaan b_n:lle, vaikkapa b_n = 1/a_n (jos nyt a_n ei ole 0), jolloin a_n*b_n on vakiojono 1, joka ei nollaan mene.
Eli: tässä on oleellista että b_n on rajoitettu.
Ahaa, eli tässä on ideana käyttää kuristusperiaatetta. Nyt tajusin, kiitos vinkeistä.
l b(n) l < M kaikilla arvoilla n.
l a(n) * b(n) l < M l a(n) l. Koska lim (n -> inf) a(n) = 0, on olemassa sellainen luku n(epsilon) että
l a(n) l < epsilon/M kun n >= n(epsilon). Joten l a(n) * b(n) l < M * epsilon/M = epsilon kun n >= n(epsilon). Tämä tarkoittaa juuri sitä että lim (n -> inf) a(n) * b(n) = 0