Kolmion kärkien paikkavektorit ovat a, b ja c, niin kolmion painopisteen eli keskipisteen paikkavektori on 1/3 (a b c). Määritä kolmion painopiste, kun sen kärkipisteet ovat A(-2,4,5), B(3,-6,9) ja C(4,-2,-10)
Tämä ei lähde itselle avautumaan yhtään?
Tämä ei lähde itselle avautumaan yhtään?
Vastaukset 12
Vanhimmat
Tuo postaamasi ensimmäinen lause tarkoittaa, että painopiste on noiden koordinaattien keskiarvo.
Eli siis..
Lasken yhteen
i(-2,4,5)=5
j(4,-6,9)=-4
k(5,9,10)=4
Ja jaan tulokset 3:lla
Vastaukseksi tulee siis 5/3i - 4/3j 4/3k
Oliko tämä oikeasti näin helppo?
Onhan se nyt helppo, kun se on tehtävässä annettu. Mutta laitetaan nyt uskonvahvistukseksi sen painopisteen paikka laskettuna vektoreilla asiaankuuluvien painopisteen määritelmien mukaan. Ei ole enää ihan niin helppo: https://aijaa.com/cu9MUE.
Tossa linkissä näkyy olevan tuo viimeinen piste ilmeisesti liikaa, kokeillaan ilman sitä: https://aijaa.com/cu9MUE
Tuo painopistekaava on helppo johtaa kun muistaa, että kolmion pinopiste on keskijanojen leikkauspisteessä, joka jakaa keskisjanat suhteessa 1:2. Keksijanan leikkauspiste on
a-(1/2)(b-a) = (1/2) (a b)
Ja keskijanojen lelikkauspiste on:
(1/2) (a b) (1/3)(c - (1/2) (a b)) = (1/3(a b c)
Kyllä massakeskipisteen määritelmä on yleisesti tunnettu ja se on seuraaava:
Pisteissä P(i) joiden paikkavektorit ovat R(i) on massat m(i), 1 <= i <= n.Kokonaismassa on M = Summa(1 <= i <= n) m(i). Massakeskipisteen paikkavektori on
R = 1/M * Summa (1 <= i <= n) ( m(i) R(i) ).
Tässä tehtävässä on M= 1, m(i) = 1/3 kun 1 <= i <= 3 ja R = 1/3 * (a b c) = 1/3 ( (-2,4,5) (3, - 6, 9) (4, - 2, - 10)) = 1/3 (5,- 4, 4) = (5/3, - 4/3, 4/3) tai i,j,k- kannassa merkiten 5/3 i - 4/3 j 4/3 k.
Massat m(i) = 1/3 voi tässä tietysti korvata millä tahansa keskenään yhtäsuurilla massoilla m(i) = m, sillä
1/M Summa (m(i) * R(i)) = m/(3m) Summa R(i) = 1/3 Summa R(i)
Käsittelet påistemäisten massojen painopistettä, mutta tehtävässä oli kyseessä tasokuvio.
Höpö höpö! Voivat ne pisteet sijaita tasossakin. Voit tutustua asiaan vaikkapa Wikipediassa: Centroid, Barycentric coordinate system .
Johan itse tehtävässä kerrottiin että painopiste on 1/3 (a b c).
Tiedän. Viestini oli enemmänkin keskustelua aeijan kanssa. Ei siis sinulle tarkoitettu.
Joo, minä tietysti olen tätä kanssa jonkun verran pyöritellyt lähtien siitä että painopisteeseen ihan ensi alkuun olen sijoittanut koko kolmon massan 3m.
Sitten olen jakanut sen kolmeen yhtäsuureen osaan m, jotka olen sijoittanut kolmion kärkiin. Siinä pitää sitten tietysti lisätä momentit, niin kuin statiikassa voimen redusoinnissa täytyy tehdä.
Sen jälkeen laskenut origosta painopisteen paikan. Siinä on monenlaista ristituloaritmetiikkaa ja välitulos on tuossa paperissa: https://aijaa.com/ACuPFT
Siinä on lisäksi painovoimavektori , tai tässä tapuksessa m, suunnattu kokemuspohjaisesti karteesisessa koordinaatistossa suoraan alas, eli m=-m*j, ja ristitulojen laskemisen jälkeen saadaan selville painopisteen x ja z -koordinaatit.
Y-koordinaattia en kuitenkaan saa, kuin sen tason yhtälön kautta , jossa kolmio sijaitsee.
Sitä tason yhtälön johtamista en enää laita, mutta tuossa on toinen papru siitä loppukahinasta:
https://aijaa.com/HmkolK
Niin kuin näkyy, niin x ja z todellakin ovat kärkipisteiden koordinaattien keskiarvoja. Niin kuin y:kin sitten osoittauttuu olevan, vaikka en sitä näkyviin saanutkaan.
Ei ole vaikeaa määritellä, jos osaa käyttää Mercatorin projisointikeinoa, siitä se ratkeaa.