Miten lasketaan?
Joulukuusi on ympyräkartion muotoinen. Kartion sivujanan pituus on 4 m ja
pohjan säde on 1 m. Kuinka pitkä koriste tarvitaan, jos se laitetaan kuusen
ympäri 3 kertaa 1 m välein (ks. mallikuva)? Piirrä kartion vaippa
tehtäväpaperille ja laske koristeen pituus.
Kuva linkkisivun alalaidassa: https://peda.net/yhdistykset/maol-ry/kilpailut/ntk/pm/tl/aktl/l2e:file/download/b1827d7497983721bd2890286be526ce2d402035/Loppukilpailu 2014.pdf
Joulukuusi on ympyräkartion muotoinen. Kartion sivujanan pituus on 4 m ja
pohjan säde on 1 m. Kuinka pitkä koriste tarvitaan, jos se laitetaan kuusen
ympäri 3 kertaa 1 m välein (ks. mallikuva)? Piirrä kartion vaippa
tehtäväpaperille ja laske koristeen pituus.
Kuva linkkisivun alalaidassa: https://peda.net/yhdistykset/maol-ry/kilpailut/ntk/pm/tl/aktl/l2e:file/download/b1827d7497983721bd2890286be526ce2d402035/Loppukilpailu 2014.pdf
Vastaukset 6
Vanhimmat
Kartion vaipan tasolevitys on tietysti ympyräsektori, jonka säde on 4 m ja kaaren pituus 2π m. Siihen sitten hahmotellaan koristeen muodostamat viivat ja lasketaan niiden yhteispituus.
Pää nyrjähtää kun yritän ajatella millainen viiva tasolevitykseen piirretään.
Helppoahan tuokin on, kun kartion leikkaa auki vasemmasta laidasta koristeen alku- ja loppupisteen kohdasta. Silloin, kun ollaan aukilevityksen keskellä säde on on alkureunasta kasvanut 0,5 m. Jos taas ollaan neljäsosa keskuskulman päässä alusta tai lopusta, niin säteessä on muutosta 0,25 m, eli ensimmäisellä kierroksella 1,25 m ja 1,75 m. Muilla kierroksilla tietysti samalla tavalla.
Aivan äkkiajattelulla luulisin, että koristeen pituuden saa helpoiten laskemalla keskellä levitystä olevalla säteellä (1,5 m, 2,5 m ja 3,5 m) sijaitsevien ympyränkaarien pituudet ja laskemalla ne yhteen.
Peruskoululaisten kannattaa näköjään approksimoida koristetta mittakaavaan piirretyllä monikulmiolla ja mitata pituus siitä.
Tuo äskettäin ehdottamani tuottaa pelkän alalikiarvon kuten monikulmiokin. Tehtävän oikeaan ratkaisuun tarvitaan osaamista, jota ei peruskoululaiselta taatusti löydy eikä edes 99 prosentilta lukion pitkän matematiikan lukijoistakaan, ks.
https://sites.google.com/site/calculatinghistory/home/christmas-tree-formulas
Taas, kun hieman miettii hieman lisää, niin oikeastaan kuusenkoriste on yksi kierros Arkhimedeen spiraalia keskiön ympäri. Näin sen pituus voidaan likimäärin laskea
https://downloads.imagej.net/fiji/snapshots/arc_length.pdf
Kartion pohjaympyrä on x,y-tason 1-säteinen ympyrä (r(0) = 1) keskipisteenään origo. Kartion huippu on pisteessä (0,0,sqrt(15)). Korkeus siis on h = sqrt(15). Käyrä syntyy kun parametri u saa arvoja siten että N kierrosta vie kartion huippuun. eli z(N* 2 pii) = h.Olkoon kartion leikkaus x,y-tason suuntaisella tasolla ympyräviiva jonka säde korkeudella z(u) on r(u).Käyrä on R(u). Siis R(0) = i.
r(u)/r(0) = (h - z(u)) / h joten r(u) = r(0)/h * (h - z(u)). z(u) = u/(2 pii) * h/N. h - z(u) = h( 1 - u/(N 2 pii))
Itse käyrä on R(u) = (r(0)/h * (h - z(u)) cos(u) i r(0)/h*(h - z(u)) sin(u) j h/(2 pii N) * u k =
r(0) ((1 - u/(N 2 pii)) cos(u) i r(0) (1 - u/(N 2 pii)) sin(u) j h/(N 2 pii) u k
(dR/du, dR/du) = (r(0)^2 h^2) / (4 pii^2 N^2) r(0)^2 (1 - u/(2 pii N))^2)
Kun siis h = sqrt(15), N = 4 ja r(0) = 1 on
sisätulo (dR/du, dR/du) = 1/(4 pii^2) (1 - u/(8 pii))^2
Käyrän kaaren pituus on S(u) = Int(0,u) sqrt(dR/du,dR/du) du
Olkoon t = 1 - u/(8 pii). dt = - 1/(8 pii) du
S(u) = - 8 pii* Int(1,1 - u/(8 pii)) sqrt(1/(4 pii^2) t^2) dt =
4 * Int( 1 - u/(8 pii), 1) sqrt(1 (2 pii t)^2) dt
Olkoon w = 2 pii t. dw = 2 pii dt
S(u) = 2/pii * Int( 2 pii*(1 - u/(8 pii)), 2 pii) sqrt(1 w^2) dw =
1/pii * Sij(2 pii (1 - u/(8 pii)), 2 pii) (w* sqrt (1 w^2) ln (w sqrt(1 w^2)))
S(2 pii) = 5,5886
S(4 pii) = 9,6425
S(6 pii) = 12,2085 (tätä tehtävässä kysyttiin, 3 kierrosta)
S(8 pii) = 13,5322 (latvaan asti)