Olkoon x>0. Näytä, että funktioiden f(x)=ln(ln(x)) ja g(x)=ln(lg(x)) kasvunopeudet ovat aina samat kaikilla muuttujan arvoilla ja kantaluvuilla.
Logaritmi tehtävä
Mistakes
3248
0Äänestä
Muut lukivat myös
Odottaa vastausta
Näihin keskusteluihin ei ole vielä vastattu. Ole ensimmäinen.
Vastaukset 3
Vanhimmat
Katso kirjasta, miten jonkin muun kantaluvun logaritmifunktio lausutaan luonnollisen logaritmin (kantaluku e) avulla. Sitten vain derivoimaan. Osoittautuu, että molempien funktioiden derivaatta on sama.
Olkoon se toinen kantaluku a ja olkoon x:n a-kantainen logaritmi log(a,x). a^log(a,x) = x. ln(x) = log(a,x)* ln(a) joten log(a,x) = ln(x)/ln(a).
ln(ln(x)) - ln(log(a,x)) = ln(ln(x) - ln(ln(x) / ln(a)) = ln(ln(x)) - ln(ln(x)) ln(ln(a)) = ln(ln(a)) eli kyseisten funktioiden erotus on vakio = ln(ln(a)). Kasvavat siis samaa vauhtia.
Merkinnöistä vielä jupinaa...
ln x tarkoittaa log_e x
lg x tarkoittaa log_10 x
missä alaviiva osoittaa alaviitettä tai alaindeksiä.
lg on siis 10 kantainen logaritmi
ln on luonnollinen logaritmi