Pitäisi todistaa seuraavanlainen vekotus. Asia on selvä kun sen piirtelee paperille ja miettii mutta millä tavalla saisi tehntyä matemaattisen todistuksen ilman geometrisiä kuvioita. "alkeellinenkin" käy..
Väite:
on olemassa luku 0
Väite:
on olemassa luku 0
Vastaukset 2
Vanhimmat
Väliarvolausetta vois yrittää käyttää apuna...
Jotenki näin:
t h
I x(p)dp = X(t h) - X(t)
t
nyt oletan X jatkuvaksi välillä [t,t h] ..
Tällön väliarvolauseen mukaan on olemassa semmonen
z kuuluu välille [t,t h], että
X'(z)=(X(t h)-X(t)) / h
Tuosta saadaan kertomalla puolittain h:lla, että
X'(z)*h=X(t h)-X(t)
ja edelleen kun muistetaan, että X'=x niin
x(z)*h=X(t h)-X(t) .... nyt voidaan valita z=t rh, missä 0
Joku tällainen vois ehkä toimia. Ilmeisesti
x(t):n pitää olla kuitenkin jatkuva, jotta
tuo pätee yleisesti?
Integraalilla on alaraja
int_t^{t h} x(p) dp = int_t^{t h} min(x(p)) dp
jossa maksimit on välillä [t,t h].
Koska max() ja min() ovat vakioita,
oikeat puolet voi integroida, jolloin
saadaan
h max(x(t))
>= int_t^{t h} x(p) dp
>= h min(x(t))
Jos (vain jos!) x(t) on jatkuva, x(t) saa
kaikki arvot väliltä [min(x(t)),max(x(t))]
joten jollain tau välillä [t,t h] pätee
h x(tau) = int_t^{t h} x(p) dp
Ja lopputulos seuraa kun asetetaan tau = t r*h.