Tietääkö kukaan, mitä yritettä voisi käyttää ratkaistaessa yhtälöä
y'' 6y' - 7y = e^x
e^kx, ja ke^kx eivät toimi. Tai jos muistan oikein niin tuo jälkimmäinenkään ei toiminut. En laittanut k:ksi arvoa 1, vaan pidin sen ihan k:na. Siitä tulee lopulta aina identtisesti epätosi yhtälö.
Toisekseen onko mitään yleistä ratkaisumalli jos differentiaaliyhtälössä esiintyy y^2? Meillä on ollut esillä vain sellaisia differentiaaliyhtälöitä, joissa on ensimmäistä astetta olevia tekijöitä. Esim. tällainen kuin y' = y^2 1.
Olisin kiitollinen avusta.
y'' 6y' - 7y = e^x
e^kx, ja ke^kx eivät toimi. Tai jos muistan oikein niin tuo jälkimmäinenkään ei toiminut. En laittanut k:ksi arvoa 1, vaan pidin sen ihan k:na. Siitä tulee lopulta aina identtisesti epätosi yhtälö.
Toisekseen onko mitään yleistä ratkaisumalli jos differentiaaliyhtälössä esiintyy y^2? Meillä on ollut esillä vain sellaisia differentiaaliyhtälöitä, joissa on ensimmäistä astetta olevia tekijöitä. Esim. tällainen kuin y' = y^2 1.
Olisin kiitollinen avusta.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tuotatuota... Sekulaariyhtälön ratkaisuista (-7 ja 1) tulee kyllä tuo alkuosa, mutta enpä näin suoraan osaa päätellä mukavaa yritettä.
Sain Mathematica5:lläni ratkaisuksi
y=e^(-7x)C e^xD e^x/(-7 6Log[e] Log[e]^2)
En tunne mitään ratkaisualgoritmeja epälineaarisille dif.yhtälöille, mutta numeerisesti voisi koettaa (algebrallisesti saatu vastaus jälkimmäiseen yhtällöösi y=tan(x C)
Ehkäpä täällä on oikeita ja viisaita matemaatikkoja, jotka voivat auttaa.
Yksityisratkaisun saa yritteellä
y=k*x*e^x, josta saa k=1/8.
Kun tämän lisää lineaariyhtälön
yleiseen ratkaisuun y=C1*e^x C2*e^(-7*x)
saadaankin sitten epälineaarisen yhtälön
yleinen ratkaisu.
Siis y=C1*e^x C2*e^(-7*x) 1/8*x*e^x
"saadaankin sitten epälineaarisen yhtälön "
Kyseessähän oli alunperin lineaarinen yhtälo. Tarkoitit varmaankin että "saadaankin sitten epähomogeenisen yhtälon ratkaisu"
Tämäntyyppiset yhtälöt ovat hyvin yleisiä
säätötekniikassa ja siellä ne on ratkaistu
yleisessä muodossa jo joskus muinoin.
Tuon yhtälön
y'' 6 y' - 7 y = e^x
voi kirjoittaa matriisimuotoon
dR(x)/dx = F R(x) L u(x)
jossa
R = [y;z]
F = [0 1; 7 -6]
L = [0;1]
u = e^x
jolla on ihan yleinen ratkaisu. Siinä
pitää vaan laskea ensin siirtomatriisi
Phi(x') = exp(F x')
jonka jälkeen ratkaisu on
R(x) = Phi(x) [y(0) y'(0)]^T
Phi(x) int_0^x Phi^{-1}(x') u(x') dx'
Yhtälö
y' = y^2 1
on taas Riccati-tyyppinen differentiaaliyhtälö,
jonka voi sijoituksella muuttaa lineaariseksi.
Kun sijoittaa y = u / v, niin saadaan
y' = u' / v - u v' / v^2
eli
u' / v - u v' / v^2 = u^2 / v^2 1
Nyt jos u ja v ovat ratkaisut yhtälöihin
u' = v
v' = -u
alkuehdoilla u(0) = y(0), v(0) = 1, niin
y = u / v on ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön.
Esimerkiksi tässä tapauksessa jos vaikka y(0) = 0
niin saadaan
u(x) = sin(x)
v(x) = cos(x)
eli
y(x) = tan(x)