Hei.
Miten perustelette, että käyrien y=ln(x) ja y=e^x kuvaajat eivät leikkaa? Mulla oli tää joskus koekysymyksenä, ja kokeessa ei ollut käytössä mitään graafisia laskimia/muita, että olisin kuvasta voinut katsoa.
Oon yrittänyt esim. tutkia funktiota f(x)= ln(x)-e^x derivaatalla ja muuta, mutta en osaa ratkaista tuommosia yhtälöitä.
Tietty kokeilemalla löytyy esim. f'(0,5675)=0,0017373..., eli jos arvioin että se olisi derivaatan nollakohta, f(0,5675)=2,3303...>0 ja tutkimalla derivaatan merkkiä päättelen, että se on likimain pienin arvo ja siks ei olisi nollakohtia eli ratkaisuja yhtälölle.
Se ei kuitenkaan varmaan ole kovin hyvä perustelu, koska en voi tietää, pomppaako jossain kohdassa funktion kuvaaja nopeasti x-akselin alapuolella.
Miten siis perustelisitte?
eksponentti- ja logaritmifunktio
8
182
Vastaukset
- Anonyymi
Ensiksi ln x on määritelty vain kun x>0. Lisäksi jos 0<x<1, on ln x<0 ja e^x>0. Siten mahdolliset leikkaiskohdat saadaan puolitasossa x>=1. Mutta ln x kasvaa nopeudella 1/x<1 ja e^x nopeudella e^x>1 kun x>1. Ainoa leikkauspiste voisi olla siis x=1. Mutta ln 1=0 ja e^1>0, joten leikkauspisteitä ei ole.
- Anonyymi
Eiköhän tuossa riitä, että perustelee, miksi e^x > x ja ln x < x.
Funktio e^x on määritelty,jatkuva ja derivoituva kaikilla arvoilla - inf < x < inf.
Samoin funktio e^x - x. Kun x < 0 on e^x > 0 ja - x > 0 joten e^x - x >0 ja siis e^x > x.
Kun x = 0 on e^x - x = 1 > 0.
d/dx(e^x - x) = e^x - 1 > 0 kun x > 0. e^x - x on siis kasvava funktio ja e^x - x > 0 kun x> 0.
Nähtiin, että kaikilla arvoilla x on e^x > x.
ln(x) on määritelty ja jatkuva kun x > 0. Se saa kaikki arvot - inf < ln(x) < inf tuolla alueella x > 0.
Edellä todistetusta seuraa, että e^(ln(x)) > ln(x) kun x > 0. Mutta e^(ln(x)) = x joten siis x > ln(x) kun x > 0.
On siis e^x > x > ln(x) kun x > 0. Kuvaajat eivät voi leikata.- Anonyymi
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
jee, jee, jees,... nyt tuli todella hyvä kysymys... kuka on Ohman, kuka on martta00 (tai ilman nollia) , kuka on aeija, kuka on KL... hmm... kukin, no mitäpä se oikeesti meille kuuluu
Pieni lisäkommentti:
Koska d/dx ln(x) = 1/x > 0 on myös ln( ) kasvava funktio. Koska x > ln(x) on siis
ln(x) > ln(ln(x)) > ln(ln(ln(x))) >...jne.
Vastaavasti , koska e^x > x, niin e^(e^x)) > e^x, e^(e^(e^x)) > e^(e^x)) jne.
Ohman = Ohman3
- Anonyymi
Seitenpuol kasiviis? Tä?
- Anonyymi
Otetaan vielä yksi tapa: tarkastellaan funktiota lnx/e^x. Väite on tosi, jos se on aina <1. Sen derivaatta on (1/x-lnx)/e^x. Nähdään, että funktio on ensin (kun x>0) kasvava, sitten saavuttaa maksimin kohdassa lnx=1/x ja sitten on laskeva. Nähdään että maksimikohta on välillä 1<x<e (likiarvo x=1,763). Ja nähdään, että maksimikohdassa tarkasteltava funktio <1.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Saisinpa halata sinua joka päivä
ja kertoa miten paljon sinusta välitän. Vaikka olisi jommalla kummalla huono päivä, väsynyt päivä tai kiireinen päivä, a505729Me työeläkeläiset äänestämme SDP:tä
SDP on luonut koko työeläkejärjestelmän, jonka hedelmistä saamme nyt nauttia. Kansaneläkelaitos on Maalaisliiton tekele,444372Nykymiehet odottaa, että nainen lähestyy?
Perus luonnonlaki menee päinvastoin! Oletko nähnyt luontodokkaria jossa naaraat juoksee uroksien perässä??? 🦁🫎🦍🐒🦦�1483949Kolmen tuiki tavallisen demariahdistelijan nimet julki
Nyt tiedetään ketkä kolme oli niissä niin tavanomaisissa demarin jokapäiväisissä askareissa avustajia ahdistelemassa. K913640Sannahan laski sähkön ALV:n 10 prosenttiin, Riikka runnoi 25,5 %:iin
Tässäkin nähdään kumpi on Suomen kansan puolella, ja kumpi omaa vastaan. Putinistipersuille Suomen kansa tulee aina vii702864Kansalaispalkka ja maksuton joukkoliikenne
Noilla pienillä parannuksilla saadaan Suomesta taas hitusen parempi paikka peruskansalaiselle, joka elää ekologisesti ja1052507Eikö tunnukin kamalalta, kun en
anna periksi vaikka parhaasi olet tehnyt antaaksesi täystyrmäyksen? Ja kyllähän minä monta iskua olen saanut ja maannut401829Antti Lindtman: "Ainahan kaikenlaisia huhuja liikkuu"
Näin hän siis vastaa SDP:n häirintäkohuun, väistelee vastuutaan Juttuhan on niin, että Lindtman ja Tuppurainen on tasan561826Muistattekos kun kaupassa piti pyytää tavarat myyjältä
Edes kahvipakettia ei saanut itse valita, vaan myyjä nouti sen hyllystä tiskille. Jos osti jauhelihaa, niin se jauhettii2261666Kenen juontajan pitäisi voittaa tänään Kultainen Venla? Ehdolla Pimiä, Holma ja Vaaherkumpu
Kultainen Venla gaalassa jaetaan tänään tv-alan palkintoja. Yksi suosituimmista kategorioista on Juontaja. Vappu Pimiä331441