Hei.
Miten perustelette, että käyrien y=ln(x) ja y=e^x kuvaajat eivät leikkaa? Mulla oli tää joskus koekysymyksenä, ja kokeessa ei ollut käytössä mitään graafisia laskimia/muita, että olisin kuvasta voinut katsoa.
Oon yrittänyt esim. tutkia funktiota f(x)= ln(x)-e^x derivaatalla ja muuta, mutta en osaa ratkaista tuommosia yhtälöitä.
Tietty kokeilemalla löytyy esim. f'(0,5675)=0,0017373..., eli jos arvioin että se olisi derivaatan nollakohta, f(0,5675)=2,3303...>0 ja tutkimalla derivaatan merkkiä päättelen, että se on likimain pienin arvo ja siks ei olisi nollakohtia eli ratkaisuja yhtälölle.
Se ei kuitenkaan varmaan ole kovin hyvä perustelu, koska en voi tietää, pomppaako jossain kohdassa funktion kuvaaja nopeasti x-akselin alapuolella.
Miten siis perustelisitte?
eksponentti- ja logaritmifunktio
8
80
Vastaukset
- Anonyymi
Ensiksi ln x on määritelty vain kun x>0. Lisäksi jos 0<x<1, on ln x<0 ja e^x>0. Siten mahdolliset leikkaiskohdat saadaan puolitasossa x>=1. Mutta ln x kasvaa nopeudella 1/x<1 ja e^x nopeudella e^x>1 kun x>1. Ainoa leikkauspiste voisi olla siis x=1. Mutta ln 1=0 ja e^1>0, joten leikkauspisteitä ei ole.
- Anonyymi
Eiköhän tuossa riitä, että perustelee, miksi e^x > x ja ln x < x.
Funktio e^x on määritelty,jatkuva ja derivoituva kaikilla arvoilla - inf < x < inf.
Samoin funktio e^x - x. Kun x < 0 on e^x > 0 ja - x > 0 joten e^x - x >0 ja siis e^x > x.
Kun x = 0 on e^x - x = 1 > 0.
d/dx(e^x - x) = e^x - 1 > 0 kun x > 0. e^x - x on siis kasvava funktio ja e^x - x > 0 kun x> 0.
Nähtiin, että kaikilla arvoilla x on e^x > x.
ln(x) on määritelty ja jatkuva kun x > 0. Se saa kaikki arvot - inf < ln(x) < inf tuolla alueella x > 0.
Edellä todistetusta seuraa, että e^(ln(x)) > ln(x) kun x > 0. Mutta e^(ln(x)) = x joten siis x > ln(x) kun x > 0.
On siis e^x > x > ln(x) kun x > 0. Kuvaajat eivät voi leikata.- Anonyymi
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
jee, jee, jees,... nyt tuli todella hyvä kysymys... kuka on Ohman, kuka on martta00 (tai ilman nollia) , kuka on aeija, kuka on KL... hmm... kukin, no mitäpä se oikeesti meille kuuluu
Pieni lisäkommentti:
Koska d/dx ln(x) = 1/x > 0 on myös ln( ) kasvava funktio. Koska x > ln(x) on siis
ln(x) > ln(ln(x)) > ln(ln(ln(x))) >...jne.
Vastaavasti , koska e^x > x, niin e^(e^x)) > e^x, e^(e^(e^x)) > e^(e^x)) jne.
Ohman = Ohman3
- Anonyymi
Seitenpuol kasiviis? Tä?
- Anonyymi
Otetaan vielä yksi tapa: tarkastellaan funktiota lnx/e^x. Väite on tosi, jos se on aina <1. Sen derivaatta on (1/x-lnx)/e^x. Nähdään, että funktio on ensin (kun x>0) kasvava, sitten saavuttaa maksimin kohdassa lnx=1/x ja sitten on laskeva. Nähdään että maksimikohta on välillä 1<x<e (likiarvo x=1,763). Ja nähdään, että maksimikohdassa tarkasteltava funktio <1.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Persuilla ja Saksi-Riikalla meni sitten pornon levittämiseksi koko touhu.
Onko kenellekään yllätys?1801935Hei A, osaatko
sanoa, miksi olet ihan yhtäkkiä ilmestynyt kaveriehdotuksiini Facebookissa? Mitähän kaikkea Facebook tietää mitä minä en521868Synnittömänä syntyminen
Helluntailaisperäisillä lahkoilla on Raamatunvastainen harhausko että ihminen syntyy synnittömänä.1351568Euroviisut fiasko, Suomen kautta aikain typerin esitys, jumbosija odottaa. Olisi pitänyt boikotoida!
Tämän vuoden euroviisut on monella tapaa täydellinen fiasko. Ensinnäkin kaikkien itseään kunnioittavien eurooppalaisten1371393Mitä tämä tarkoittaa,
että näkyy vain viimevuotisia? Kirjoitin muutama tunti sitten viestin, onko se häipynyt avaruuteen?411324Nukkumisiin sitten
Käsittelen asiaa tavallani ja toiveissa on vielä että tästä pääsee hyppäämään ylitse. Kaikenlaisia tunteita on läpikäyny41174Muistatko komeroinnin?
Taannoin joskus kirjoitin aloituksen tänne komeroinnista eli hikikomoreista; syrjäytyneistä nuorista ihmisistä. Ehkä asu481152Naisten tyypilliset...
Naiset ei varmaan ymmärrä itse miten karmealle heidän tavara haisee. Miehet säälistä nuolevat joskus, yleensä humalassa101133Syö kohtuudella niin et liho.
Syömällä aina kohtuudella voi jopa laihtua.On paljon laihoja jotka ei harrasta yhtään liikuntaa. Laihuuden salaisuus on101109Tuollainen kommentti sitten purjehduspalstalla
"Naisen pillu se vasta Bermudan kolmio on. Sinne kun lähdet soutelemaan niin kohta katoaa sekä elämänilo että rahat"31108