Hei.
Miten perustelette, että käyrien y=ln(x) ja y=e^x kuvaajat eivät leikkaa? Mulla oli tää joskus koekysymyksenä, ja kokeessa ei ollut käytössä mitään graafisia laskimia/muita, että olisin kuvasta voinut katsoa.
Oon yrittänyt esim. tutkia funktiota f(x)= ln(x)-e^x derivaatalla ja muuta, mutta en osaa ratkaista tuommosia yhtälöitä.
Tietty kokeilemalla löytyy esim. f'(0,5675)=0,0017373..., eli jos arvioin että se olisi derivaatan nollakohta, f(0,5675)=2,3303...>0 ja tutkimalla derivaatan merkkiä päättelen, että se on likimain pienin arvo ja siks ei olisi nollakohtia eli ratkaisuja yhtälölle.
Se ei kuitenkaan varmaan ole kovin hyvä perustelu, koska en voi tietää, pomppaako jossain kohdassa funktion kuvaaja nopeasti x-akselin alapuolella.
Miten siis perustelisitte?
eksponentti- ja logaritmifunktio
8
171
Vastaukset
- Anonyymi
Ensiksi ln x on määritelty vain kun x>0. Lisäksi jos 0<x<1, on ln x<0 ja e^x>0. Siten mahdolliset leikkaiskohdat saadaan puolitasossa x>=1. Mutta ln x kasvaa nopeudella 1/x<1 ja e^x nopeudella e^x>1 kun x>1. Ainoa leikkauspiste voisi olla siis x=1. Mutta ln 1=0 ja e^1>0, joten leikkauspisteitä ei ole.
- Anonyymi
Eiköhän tuossa riitä, että perustelee, miksi e^x > x ja ln x < x.
Funktio e^x on määritelty,jatkuva ja derivoituva kaikilla arvoilla - inf < x < inf.
Samoin funktio e^x - x. Kun x < 0 on e^x > 0 ja - x > 0 joten e^x - x >0 ja siis e^x > x.
Kun x = 0 on e^x - x = 1 > 0.
d/dx(e^x - x) = e^x - 1 > 0 kun x > 0. e^x - x on siis kasvava funktio ja e^x - x > 0 kun x> 0.
Nähtiin, että kaikilla arvoilla x on e^x > x.
ln(x) on määritelty ja jatkuva kun x > 0. Se saa kaikki arvot - inf < ln(x) < inf tuolla alueella x > 0.
Edellä todistetusta seuraa, että e^(ln(x)) > ln(x) kun x > 0. Mutta e^(ln(x)) = x joten siis x > ln(x) kun x > 0.
On siis e^x > x > ln(x) kun x > 0. Kuvaajat eivät voi leikata.- Anonyymi
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
- Anonyymi
Anonyymi kirjoitti:
sen verran kiinnostaa, että kuka on Ohman itse?
jee, jee, jees,... nyt tuli todella hyvä kysymys... kuka on Ohman, kuka on martta00 (tai ilman nollia) , kuka on aeija, kuka on KL... hmm... kukin, no mitäpä se oikeesti meille kuuluu
Pieni lisäkommentti:
Koska d/dx ln(x) = 1/x > 0 on myös ln( ) kasvava funktio. Koska x > ln(x) on siis
ln(x) > ln(ln(x)) > ln(ln(ln(x))) >...jne.
Vastaavasti , koska e^x > x, niin e^(e^x)) > e^x, e^(e^(e^x)) > e^(e^x)) jne.
Ohman = Ohman3
- Anonyymi
Seitenpuol kasiviis? Tä?
- Anonyymi
Otetaan vielä yksi tapa: tarkastellaan funktiota lnx/e^x. Väite on tosi, jos se on aina <1. Sen derivaatta on (1/x-lnx)/e^x. Nähdään, että funktio on ensin (kun x>0) kasvava, sitten saavuttaa maksimin kohdassa lnx=1/x ja sitten on laskeva. Nähdään että maksimikohta on välillä 1<x<e (likiarvo x=1,763). Ja nähdään, että maksimikohdassa tarkasteltava funktio <1.
Ketjusta on poistettu 1 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Kylläpä on nautinnollista taas tämä palstan vassari valitus!
Lähes jokainen avaus on vassareiden kitinää ja valitusta. Eikö se tarkoitakin, että silloin asiat menee maassamme parem732951HS: persujen v. 2015 turvapaikanhakijoista alle puolet töissä
Aikuisina Suomeen tulleista ja myönteisen päätöksen saaneista vain 42 prosenttia oli vuonna 2023 töissä, vaikka he ovat522230- 241949
Helvetistä ei ole paluuta
Kun ihminen laskeutuu kuolleiden maailmaan, kauhujen valtakuntaan ja tuonelan ovet sulkeutuu kiinni, se on karu tunne ku3851450- 661363
Persut muuten hyväksyvät 2 + 8 mrd. euron maatalous- ja yritystuet
Vaikka molemmat tukimuodot tiedetään haitallisiksi, koska ovat käytännössä pelkkää säilyttävää tukea, eivätkä kannusta k401344- 561109
Järjetön Topi-ilta
Lisää tappiota konkurssipesälle. Miten voi olla mahdollidta , että annetaan järjestää tämä. Sorsakoski pyörii haudassaan201089Mikä kaivatussasi herätti mielenkiintosi
Kun tapasitte ensi kerran? Ulkonäössä? Luonteessa tai olemuksessa? Kuinka nopeasti mielenkiinto muuttui ihastukseksi?761022- 47973