Tällaisia tehtäviä:
1. Osoita, että sekä y(x) = 0 että y(x) = (x-2)^3 ovat alkuarvotehtävän y' = 3y^(2/3), y(2) = 0 ratkaisuja. Miten tämä on mahdollista?
2. Onko
a) x^2 y^2 = 6 differentiaaliyhtälön y' = x/y
b) y - ln y = x^2 1 differentiaaliyhtälön y' = 2xy/(y-1)
ratkaisu?
Jos kyseessä on ratkaisu niin millä välillä?
Osaiskos joku kertoa, miten tällaset ratkastaan?
1. Osoita, että sekä y(x) = 0 että y(x) = (x-2)^3 ovat alkuarvotehtävän y' = 3y^(2/3), y(2) = 0 ratkaisuja. Miten tämä on mahdollista?
2. Onko
a) x^2 y^2 = 6 differentiaaliyhtälön y' = x/y
b) y - ln y = x^2 1 differentiaaliyhtälön y' = 2xy/(y-1)
ratkaisu?
Jos kyseessä on ratkaisu niin millä välillä?
Osaiskos joku kertoa, miten tällaset ratkastaan?
Vastaukset 5
Vanhimmat
1. Ei tarvitse osata edes integroida (en itse osaisi tuota):
y(x)=0 => y'(x)=0 Sijoita y(x) y:n paikalla ja y'(x) y':n paikalle ja totea identiteetti.
y(x)=(x-2)^3 => y'(x)=3(x-2)^2 Sijoita y(x) y:n paikalla ja y'(x) y':n paikalle ja totea identiteetti.
y(x)=0 jotenka y(2)=0, y(2-2)^3=o myös.
2. Käytä implisiittistä derivointia:
x^2 y^2 = 6 => 2x 2yy'=0 , sijoitusta...
y - ln y = x^2 1 => 1-y'(x)/y(x)=2x, sijoittelua...
Noiden yhtälöiden ratkaiseminen tuntuu hankalalta ja työläältä, osoitus käy helpommin. Ovatko nämä muuten lukion laskuja, vai missä niihin törmäsit???
Mahdollista siksi, että integroitaessahan syntyy vakio C.
1.)
y'=3y^(2/3) -> dy/dx=3y^(2/3) -> dx=1/(3y^(2/3)) (piru kun on hidasta kirjottaa koneelle) -> (I = integraalimerkki) I dx = I 1/(3y^(2/3)), jolloin:
x C = y^1/3 -> y= (x C)^3, eli:
(x C)^3=(x-2)^3, kun C=-2
(x C)^3=0, kun C=-x
Kakkosen a- ja b-kohdat samalla lailla,
vastaukset kuintekin a: kyllä b: ei
(b:ssä kävisi x^2-y^2 = 6)
korjaus edelliseen:
vakio C on tietenkin nimensä mukaisesti VAKIO, eli vastaukseni C=-x on väärä.
Sikäli oikea, että tällöin yhtälö toteutuu, mutta yleispäteväksi siitä ei ole. eli esim. kun x=2 ja C=-2 niin yhtälö toteutuu, jolloin alkuehto täyttyy. kuitenkaan ei voida sanoa, että C=-x.
..et silleen
Jonkun integrointitaitoja sopisi hieman hioa...
Vitsit kun osais integroida noin nätisti...