Osoita , että kolmion fysikaalinen painopiste saadaan laskemalla kolmion kärkipisteiden keskiarvo.
Osoituksessa EI saa käyttää tietoa , että painopiste on kolmion keskijanojen leikkauspiste.
Osoituksessa EI saa käyttää tietoa , että painopiste on kolmion keskijanojen leikkauspiste.
Vastaukset 10
Vanhimmat
Ainakin integroimalla onnistuu.
Sisältää juonipaljastuksia
https://math.stackexchange.com/questions/1423664/barycenter-of-a-triangle
älä katso jos et halua nähdä vielä paria ratkaisua
Jotenki sellainen tunne että tuon voisi ratkausta myös vähemmällä ja yksinkertaisella laskemisella kun keksisi hyvän idean
Minä olen tätä jokusen kymmenen vuotta pähkäillyt, varmaan 40 vuotta, ja kerran tämän oman viritelmäni tänne laitoinkin.
Se ei silloin herättänyt minkäänlaista mielenkiintoa, eikä yhtään kommenttia.
Ajattelin nyt vielä tässä loppusuoralla kokeilla uudestaan, ja ratkaisuyritykseni perustuu ensinnäkin voimasysteemin redusointiin , statiikan momenttien laskemiseen ristitulon avulla ja sitten näiden ristitulojen pyörittelyyn.
Olisi nyt mukava saada selväksi onko tässä mitään tolkkua;
https://aijaa.com/MlVqgD
Sinä olet laskenut, mikä on painopiste (oikeammin : massakeskipiste) kun kolmion kärjissä on samansuuruiset massat m.
Ihan massakeskipisteen määritelmästä seuraa koko juttu:kolmion kärjet ovat R1,R2 ja R3. Massakeskipisteen paikkavektori on R0.
3m * R0 = mR1 m R2 m R3 = m (R1 R2 R3) joten
R0 = 1/3 (R1 R2 R3).
Tämän kummempaa ei tarvita.
Mutta tätä ei kysytty. Kysyttiin kolmion massakeskipistettä. Oletetaan, että kolmion pintatiheys t on vakio jolloin kolmion massa on M = t * A, missä A on kolmion ala.
Piti todistaa, että R0 = 1/3 (R1 R2 R3)
Massakeskipisteen määritelmä on nyt:
M * R0 = Integraali (A:n yli) (R *t * dA) missä R on kolmion pisteen paikkavektori, käy siis yli koko kolmion, ja massa-alkio dm = t*dA
Tuosta lähtien pitäisi tuo kysytty seikka todistaa.
Tuolla tavallahan saisi minkä tahansa monikulmion painopisteeksi kärkipisteiden keskiarvon, ja ei se pidä ainakaan epäsäännöllisillä monikulmioilla paikkaansa, vaikka kolmiolla pitäisikin. Ei jatkoon, huuhaata..
Oletkos kuullut simplekseistä ja barysentrisistä koordinaateista?
En minä laske painopisteen paikkaa tuossa millään kohtaa.
Sijoitan ensin kolmion kokonaismassan voimana painopisteeseen,
Sitten redusoin sen kokonaisvoiman kolmeksi yhtä suureksi osaksi kolmion kärkiin. Kin lisään siihen momentit, niin voimasysteemi on samanarvoinen kuin alkuperäinen.
Sen jälkeen lasken kummankin voimasysteemin , alkuperäisen ja kärkiin redusoidun , momentit origon suhteen. En laske mitään painopistettä.
Kun merkkaan nämä samanarvoisten voimasysteemien momentit samoiksi, sieltä putkahtaa esiin paikkavektori R origosta painopisteeseen.
Mutta antaa tämän olla.
Siinä on laskettu väärin voiman momentti origosta.
M=r x F , ja tuossa on laskettu esim. 3m x R, ja se ei ole sama kuin R x 3m,
vaan -R x 3m.
Jos ne kaikki laittaa oikein tulee 0=0, eikä putkahda yhtään mitään muuta...
No todistan. Varoitus:käytän differentiaalimuotoja ja Stokesin kaavaa.
Pannaan kolmio koordinaatistoon niin, että sen kärjet ovat
(x1,y1) = (0,0), (x2,y2) = (x2,0) ja (x3,y3) . x2 >= x3 ja y3 > 0. Noilla tuon onnistuu piirtämään se joka haluaa.
Kolmio olkoon A (sen ala myös A) ja sen reuna DA. I (a , b) f(x) dx on f:n integraali a:sta b:hen. g(x,y):n integraali A:n yli on I(A) g dA. Jne.
Massakeskipisteen x-koordinaatti xm toteuttaa yhtälön
xm*A = I(A) x dA
I(A) x dA = I(A) x dx dy = I(A) d (1/2 x^2 dy) = I(DA) 1/2 x^2 dy (Stokes)
Kolmion reuna eli sivut ovat suorilla
y=0, y = mx b missä m = y3/(x3 - x2) ja
b = nx c missä n = y3/x3 ja c = 0 .
I(DA) 1/2 x^2 dy = I(x2,x3) (m/2 x^2 dx) I(x3,0) (n/2 x^2 dx
= m/6 ( (x3^3 - x2^3) - n/6 x3^3
= 1/6 (m-n) x3^3 - 1/6 m x2^3 =
1/6(y3/(x3-x2) - y3/x3) x3^3 - 1/6 y3 / (x3 - x2) x2^3 =
1/6 y3/(x3 - x2) (x3^3 - x2^3) - 1/6 y3 x3^2 =
1/6 y3 (x3^2 x3 x2 x2^2) - 1/6 y3 x3^2 =
1/6 (y3 x3 x2 y3 x2^2) = 1/6 x2 y3 (x3 x2) =
1/2 x2 y3 (x3 x2)/3 = A (x2 x3)/3
joten xm = 1/3 (x2 x3) = 1/3 (x1 x2 x3) eli xm on kärkipisteiden x-koordinaattien keskiarvo.
y-koordinaatti:
I(A) y dx dy = - I (A) d(1/2 y^2 dx) = - I (DA) (1/2 y^2 dx =
- 1/m I(0,y3) (1/2 y^2 dy) - 1/n I(y3,0) (1/2 y^2 dy) =
- 1/m * 1/6 y3^3 1/n * 1/6 y3^3 =
1/6 (y3^3 / n - y3^3 /m) =
1/6 (y3^2 x3 - y3^2(x3 - x2) =
1/6 y3^2 x2 = 1/2 x2 y3 * 1/3 y3 = A(y1 y2 y3)
eli ym on kärkipisteiden y-koordinaattien keskiarvo.
MOT
Tuli lopussa kirjoitusvirhe: p.o A ((y1 y2 3) / 3)
Näin siis ym*A = I(A) y dx dy .