En kovin hyvin ymmärrä näitä murtofunktioita eli apua ja pientä selitystä tarvitsisin näihin laskuihin, että tajuaisin mikä on ajatus näitä ratkaistaessa.
Tän ensimmäisen laskun luulen tajuavani ainakin melkein.
Millä a:n arvoilla funktiolla f: f(x)=(x^2 a)/(x-1) on ääriarvoja?
Eli funktio kasvaa ja vähenee äärettömyyteen, niin sillä on ääriarvoja vain jos funktiolla on derivaatan nollakohtia, olenko oikeassa?
Df(x)= (x^2-2x-a)/(x-i)^2
-> funktion merkin määrää (x^2-2x-a) siitä
D(x^2-2x-a)= 2x-2 -> x=1
sijoitetaan x:n arvo x^2-2x-a=0 -> a=-1
Eli tolla a:n arvolla funktiolla on derivaatan nollakohta ja siis ääriarvo, mun laskujen mukaan, mutta varsinainen kysymys tähän tehtävään kuuluu, että miksi oikea vastaus on a>-1?
Ja sit pari laskua missä en pääse edes alkuun.
Määritä positiiviluku k siten, että suoran y=(k^2 1)(1-kx) ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion ala on mahdollisimman pieni?
Summassa ax (b/x) ovat a ja b positiivisia vakioita ja x positiivinen reaaliluku. Osoita, että summalla on pienin arvo silloin, kun yhteenlaskettavat ovat yhtäsuuria.
Tän ensimmäisen laskun luulen tajuavani ainakin melkein.
Millä a:n arvoilla funktiolla f: f(x)=(x^2 a)/(x-1) on ääriarvoja?
Eli funktio kasvaa ja vähenee äärettömyyteen, niin sillä on ääriarvoja vain jos funktiolla on derivaatan nollakohtia, olenko oikeassa?
Df(x)= (x^2-2x-a)/(x-i)^2
-> funktion merkin määrää (x^2-2x-a) siitä
D(x^2-2x-a)= 2x-2 -> x=1
sijoitetaan x:n arvo x^2-2x-a=0 -> a=-1
Eli tolla a:n arvolla funktiolla on derivaatan nollakohta ja siis ääriarvo, mun laskujen mukaan, mutta varsinainen kysymys tähän tehtävään kuuluu, että miksi oikea vastaus on a>-1?
Ja sit pari laskua missä en pääse edes alkuun.
Määritä positiiviluku k siten, että suoran y=(k^2 1)(1-kx) ja koordinaattiakselien rajoittaman kolmion ala on mahdollisimman pieni?
Summassa ax (b/x) ovat a ja b positiivisia vakioita ja x positiivinen reaaliluku. Osoita, että summalla on pienin arvo silloin, kun yhteenlaskettavat ovat yhtäsuuria.
Vastaukset 4
Vanhimmat
Tuohon ensimmäiseen ongelmaan. Ensinnäkin x ei saa olla 1. Tämä arvohan on alkuperäisen funktion nimittäjän nollakohta. Tarkasta tämä asia aina ensimmäisenä kun aloitat laskun.
Olit lähtenyt laskemaan funktion derivaattaa. Oikein. Tehtävässä kysytään milloin funktiolla on ääriarvoja (eli siis monikossa). Tällöin sillä pitää olla vähintään kaksi derivaatan nollakohtaa.
Derivaatalla on kaksi nollakohtaa jos sen diskriminantti on positiivinen (yritä laskea toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla niin huomaat).
Diskriminantti on tässä sqrt(4 4a). Tämä on positiivinen kun a>-1. Jos a=-1 niin yhtälöllä on vain yksi reaalinen nollakohta, joka ei riitä. Muista kuitenkin tuo määrittelyjoukko tuossa alussa. Se on välttämätön kaikissa tämän tyyppisissä tehtävissä.
Vihje toiseen tehtävään:
Kyseessä on selvästi suorakulmainen kolmio. Alahan lasketaan tutulla kanta*korkeus kaavalla. x-akselin leikkauskohdan saat helposti pienellä pyörityksellä, samoin y-akselin. Nyt kerrot nämä keskenään ja tarkastelet derivaatan nollakohtaa.
Vihje kolmoseen:
Älä anna kirjaimien hämmentää itseäsi. Tehtävässä haetaan minimiä. Ala siis tutkimaan normaaliin tapaan derivaatan nollakohtaa. a ja b ovat tietysti vakioita ja käyttäytyvät sen mukaan derivaatassa.
Ok, eka ja kolmas tehtävä selvisi, kiitos hyvistä vinkeistä!
Pyöritä yhtälö yleisen suoran yhtälön muotoon, milloin näät helposti tarvittavan.
y = (-k-k^3)x k^2 1 , k > 0
Leikkauskohdat muuten positiivisten akselien puolella, senkin näkee suoraan.
Ala yhden muuttujan funktiona
A(k) = (1/2) * (k^2 1)^2 / (k^3 k)
A pilkut, dn merkkikaav., k:n määrittelyjoukko jne saadaan
k = 1
Aritmeettis-geometrisen epäyhtälön mukaan ax b/x>=2 \sqrt(ab), missä yhtäsuuruus pätee vain jos ax=b/x. Tämä tunnettu epäyhtälö seuraa suoraan pyörittämällä muistikaavaa (t v)^2=t^2 v^2 2tv>=0