Aloinpa tässä kertailla matematiikkaa kirjoituksiin ja päätin sitten aloittaa ihan yksinkertaisimmista asioista, jos vaikka jotain olisi päässyt unohtumaan. Selailin ensimmäistä kirjaa tuntien suurta iloa siitä, että kaikki tuntui olevan hallussa. Sitten tulin neliöjuuren kohdalle.
Kirjassamme neliöjuuri on määritelty siten, että "luku b on a:n neliöjuuri, jos "1; b:n neliö on a" ja "2; b on epänegatiivinen". Minkä ihmeen takia ei ole, että "2; a on epänegatiivinen"? (Vaikka sehän tosin on jo itsestään selvää...Ja tämä sanotaankin myöhemmin parillisen juuren määrittelyehdossa.) Mutta siis kysymykseni kuuluu, että jos neliöjuuri määritellään neliöönkorotuksen vastatoimituksena, niin sittenhän b:n pitäisi voida olla myös negatiivinen? Meneekö minun päättelyssäni jokin vikaan? Vai ajattelenko asian vain jostain toisesta vinkkelistä tai jotain...? Onko tämä vain asia, jonka on joskus päätetty olevan näin ilman mitään erityistä syytä, vai onko sille jokin syykin?
Tunnen itseni ihan typeräksi tallikaksi, kun en näin yksinkertaista asiaa ymmärrä. Kertokaa te viisaammat, miten asia on.
Toisaalta tiedän kyllä kirjan periaatteen vaikken sitä tajuakaan, ettei sen pitäisi laskutoimituksiani haitata, mutta haluaisin myös ymmärtää, miksi niin on kuin opetetaan??
Kirjassamme neliöjuuri on määritelty siten, että "luku b on a:n neliöjuuri, jos "1; b:n neliö on a" ja "2; b on epänegatiivinen". Minkä ihmeen takia ei ole, että "2; a on epänegatiivinen"? (Vaikka sehän tosin on jo itsestään selvää...Ja tämä sanotaankin myöhemmin parillisen juuren määrittelyehdossa.) Mutta siis kysymykseni kuuluu, että jos neliöjuuri määritellään neliöönkorotuksen vastatoimituksena, niin sittenhän b:n pitäisi voida olla myös negatiivinen? Meneekö minun päättelyssäni jokin vikaan? Vai ajattelenko asian vain jostain toisesta vinkkelistä tai jotain...? Onko tämä vain asia, jonka on joskus päätetty olevan näin ilman mitään erityistä syytä, vai onko sille jokin syykin?
Tunnen itseni ihan typeräksi tallikaksi, kun en näin yksinkertaista asiaa ymmärrä. Kertokaa te viisaammat, miten asia on.
Toisaalta tiedän kyllä kirjan periaatteen vaikken sitä tajuakaan, ettei sen pitäisi laskutoimituksiani haitata, mutta haluaisin myös ymmärtää, miksi niin on kuin opetetaan??
Vastaukset 7
Vanhimmat
Olipas vähän sekavaa tekstiä sinulla.
"Mutta siis kysymykseni kuuluu, että jos neliöjuuri määritellään neliöönkorotuksen vastatoimituksena, niin sittenhän b:n pitäisi voida olla myös negatiivinen?"
Yritäpä korottaa joku reaaliluku toiseen siten että saat negatiivisen luvun (eli siis tuon luvun b).
En ole varma ymmärsinkö kysymyksesi ihan oikein. Sinuna en kuitenkaan tuhlaisia aivosoluja tuon asian noin perusteelliseen miettimiseen :)
Äkkiseltään itselleni tulee mieleen määritelmän perusteluksi vain neliöjuuren yksikäsitteisyys, jonka putteesta voisi seurata vaikkapa seuraavanlaisia ongelmia.
Olkoon a:n neliöjuuri b ja -b.
Aloitetaan yhtälöllä
a=a
otetaan tästä neliöjuuri molemmin puolin
b=-b (käytetty molempia mahdollisia ratkaisuja)
tämähän toteutuu vain nollalla eli b=0 ja a=b*b=0. Joten vain nolla olisi yhtäsuuri itsensä kanssa. Tai jotain tuon suuntaista.
Kas, no niinpäs onkin. Kiitoskia, tuo vähän valaisi asiaa.(:
sqrt(-1) = i i^2 = -1
... i:lle pätee ainoastaan, että i^2 = -1, EI siis ole i = sqrt(-1) sen takia, että tämä johtaa ristiriitaan:
Jos nimittäin i = sqrt(-1), niin toisaalta tällöin on määritelmän mukaan i^2 = -1, mutta taas toisaalta i^2 = sqrt(-1)*sqrt(-1)
= sqrt( (-1)^2 ) = sqrt(1) = 1, eli -1 = 1, mikä on identtisesti epätosi...
Tämän takia pitää olla tuon i:n kanssa tarkkana.
No eipä aivan näinkään.
i:lle pätee aivan yhtä lailla i^2=-1 ja i=sqrt(-1).
sanoit, että sqrt(1)=1, ja että sen takia on identtisesti epätosi -1=1, mutta taisit hienoja lauseitasi miettiessäsi unohtaa että sqrt(1) on yhtälailla 1 ja -1, sillä onhan (-1)^2=1.
Että koitapa itse olla tarkkana i:n kanssa ja mutenkin ennenkuin rupeat julkisesti tollasta jauhamaan, koska sun juttus on identtisesti epätosia.
Neliöjuuren määritelmä:
sqrt(a) = b b^2 = a JA b >= 0, joten -1 ei käy tuossa äskeisessä. Luvun neliöjuuri on yksikäsitteinen.