Lukion todennäköisyyslaskennan kurssilta minua on jäänyt mietityttämään eräs tehtävä. Tehtävä on seuraava:
”Englantilaisessa TV-kilpailussa on kolme verhoilla peitettyä luukkua, joista vain yhdessä on palkinto. Pelaajan on valittava luukuista yksi. Pelaajan tehtyä valintansa juontaja avaa toisen kahdesta jäljellä olevasta luukuista ja näyttää, että sen takana ei ole palkintoa. Juontaja kysyy vielä pelaajalta, haluaako tämä muuttaa valintaansa. Kannattaako pelaajan vaihtaa valitsemansa luukku?”
Vastauksessa kerrotaan: ”Vaihtamalla luukkua, pelaajan voittotodennäköisyys on 2/3, vaihtamatta vain 1/3. Siis kannattaa vaihtaa.”
Onko asia todella näin? Jos tehtäisiin tilasto kaikista niistä tapauksista, joissa juontaman avaamassa luukussa ei ole palkintoa, niin olisiko todella ensiksi valitussa luukussa palkinto vain 1/3 tapauksista?
Tietysti todennäköisyys, että valitussa luukussa on palkinto, on 1/3 silloin, kun ei vielä tiedetä kahdesta muusta luukusta mitään. Mutta eikö tilanne muutu, kun tiedetään, että toisessa näistä luukuista ei ole palkintoa?
Omasta mielestäni todennäköisyys, että valitussa luukussa on palkinto, on 50% sen jälkeen, kun juontaja on näyttänyt toisen kahdesta muusta luukusta tyhjäksi.
Opettaja ei silloin hyväksynyt protestointiani. Mahdollisesti opettaja oli oikeassa, mutta minä en pysty ymmärtämään sitä. Täytyy varmaan tehdä tilastokoe ja selvittää asia.
:)
”Englantilaisessa TV-kilpailussa on kolme verhoilla peitettyä luukkua, joista vain yhdessä on palkinto. Pelaajan on valittava luukuista yksi. Pelaajan tehtyä valintansa juontaja avaa toisen kahdesta jäljellä olevasta luukuista ja näyttää, että sen takana ei ole palkintoa. Juontaja kysyy vielä pelaajalta, haluaako tämä muuttaa valintaansa. Kannattaako pelaajan vaihtaa valitsemansa luukku?”
Vastauksessa kerrotaan: ”Vaihtamalla luukkua, pelaajan voittotodennäköisyys on 2/3, vaihtamatta vain 1/3. Siis kannattaa vaihtaa.”
Onko asia todella näin? Jos tehtäisiin tilasto kaikista niistä tapauksista, joissa juontaman avaamassa luukussa ei ole palkintoa, niin olisiko todella ensiksi valitussa luukussa palkinto vain 1/3 tapauksista?
Tietysti todennäköisyys, että valitussa luukussa on palkinto, on 1/3 silloin, kun ei vielä tiedetä kahdesta muusta luukusta mitään. Mutta eikö tilanne muutu, kun tiedetään, että toisessa näistä luukuista ei ole palkintoa?
Omasta mielestäni todennäköisyys, että valitussa luukussa on palkinto, on 50% sen jälkeen, kun juontaja on näyttänyt toisen kahdesta muusta luukusta tyhjäksi.
Opettaja ei silloin hyväksynyt protestointiani. Mahdollisesti opettaja oli oikeassa, mutta minä en pysty ymmärtämään sitä. Täytyy varmaan tehdä tilastokoe ja selvittää asia.
:)
Vastaukset 17
Vanhimmat
Täytyy sanoa että tuo tehtävä on aika hauska. Mutta olet kuitenkin väärässä ja huomaat tämän myös mahdollisella tietokonesimulaatiolla.
Alussa on siis kolme luukkua. Valitset yhden, jossa palkinto on todennäköisyydellä 1/3. Palkinto on kahdessa muussa laatikossa siis yhteistodennäköisyydellä 2/3. Se, että juontaja paljastaa tyhjän laatikon ei muuta tätä todennäköisyyttä mihinkään. Palkinto laatikon sisällä "ei tiedä" mitään juontajan puuhista.
Tämä tehtävä on helpompi ymmärtää seuraavalla esimerkillä. Kuvittele että laatikoita on alunperin vaikkapa 1000 000 kpl. Valitset yhden jossa palkinto on todennäköisyydellä 1/1000 000. Juontaja paljastaa 999 998 muuta laatikkoa tyhjäksi ja kysyy haluatko vaihtaa siihen ainokaiseen, jonka hän jätti paljastamatta. Vaihtaisitko?
Voisin vaihtaa, mutta minun on silti vaikea uskoa, että palkinto on suuremmalla todennäköisyydellä siinä luukussa mihin vaihdan... En ymmärrä, miksi se laatikko jonka olen valinnut olisi yhtään vähempiarvoisempi kuin jäljelle jäänyt. Molemmathan ovat jäljelle jääneitä ja 999998 laatikkoa on poistettu.
;)
Tämä tehtävä tuli taas mieleeni tällä viikolla, kun luin erästä matematiikan kirjaa, jossa oli fysikaalisille tieteille tarkoitettua matematiikkaa. Siinä kerrottiin aivan yksinkertaisesta asiasta, että kun sinulla ja kaverillasi on kolikko, niin todennäköisyys sille, että molemmissa on kolikoissa on sama puoli ylhäällä, riippuu siitä mitä tietää. Esimerkiksi jos kysytään todennäköisyyttä sille, että molemmissa on kruuna, niin jos kolikossasi on klaava, niin tiedät, että todennäköisyys on nolla. Kaverillasi saattaa olla kruuna, jolloin hänelle todennäköisyys on 50%. Minä taas, joka en tiedä sinun enkä kaverisi kolikosta mitään, sanoisin, että todennäköisyys sille, että molemmissa on kruuna, on 25%. Todennäköisyys siis (tässä tapauksessa) riippuu siitä, mitä tietää!
Mutta kai minä sitten olen väärässä. Se selvinnee kokeilemalla.
:)
"En ymmärrä, miksi se laatikko jonka olen valinnut olisi yhtään vähempiarvoisempi kuin jäljelle jäänyt. Molemmathan ovat jäljelle jääneitä ja 999998 laatikkoa on poistettu. "
Meillä on 1000 000 laatikkoa, joissa vain yhdessä on palkinto. Nyt kun valitset yhden niin eikö todennäköisyys sille, että juuri se on se oikea ole häviävän pieni? Nyt se juontaja tietää missä palkinto on ja poistaa laatikoista 999 998 tyhjää. Eikö ole aika ilmeistä että palkinto on siinä jonka se on jättänyt paljastamatta? Kannattanee siis vaihtaa oma valinta siihen jäljelle jääneeseen...
Missä kerrotaan, että juontaja tietää, missä palkinto on?!
OK. Nyt asia saattaa olla selvä. Olen näin kauan ollut siinä luulossa, että tehtävän juontajakaan ei tiennyt, missä laatikossa palkinto on...
:D
Kiitoksia.
:)
Kuvittele, että sinulla on vaikkapa yksi keltainen ja kaksi punaista kukkasta. Kun ladot ne silmät kiinni summanmutikassa eteesi pöydälle niin, että vasemmalle puolelle tulee yksi kukka ja oikealle puolelle kaksi kukkaa, on todennäköisyys, että se keltainen kukka on oikealla 2/3 ja vasemmalla 1/3. Juontajahan on tässä vain hämäystä, sillä toinen luukuista on kuitenkin tyhjä, niinkuin toinen kukista on punainen.
Asiaa voi varmaan havainnollista myös seuraavalla tavalla.
Tilanne pelin alussa:
L1 L2 L3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Tilanne ennen vaihtopäätöstä:
L1 LJ
1 0
0 1
0 1
Olkoot tuossa ensimmäisessä taulukossa L1, L2, L3 laatikoita pelin alussa. 1 laatikon kohdalla tarkoittaa sitä, että palkinto on kyseisessä laatikossa ja 0 sitä, että laatikko on tyhjä. Selvästi nuo kolme tilannetta ovat ainoat mahdolliset, eli siis palkinto on jossain laatikoista.
Olkoon L1 se laatikko, jonka pelaaja valitsee ensin ja LJ se laatikko, joka jää jäljelle juontajan poistettua tyhjän laatikon.
Selvästi jälkimmäistä taulukkoa lukemalla havaitaan, että voiton todennäköisyys on 1/3 jos pelaaja ei vaihda valintaa ja 2/3, jos hän tekee vaihdon.
Lisää juttua aiheesta löydät kun kirjoitat Googleen hakusanaksi Monty Hall (tämän nimisen kaverin TV-kilpailusta on kyse). Näyttäisi siltä, että joku muukin on joskus kieltäytynyt uskomasta tuota.. =)
Tuo cubicin selvennys selvensi asian. Luulin siis, ettei juontajakaan tiennyt, missä palkinto on. Tällöin hän olisi kolmasosassa tapauksista avannut juuri sen luukun, jossa palkinto on. Jos tällöin tilastoitaisiin ne tapaukset, joissa juontajan avaama luukku on tyhjä, olisi todennäköisyydet menneet juuri niin kuin ajattelin.
Nyt kun juontaja tietää palkinnon sijainnin, niin todennäköisyys menee siis 2/3 ja 1/3 kuten vastauksessa todetaan ja kilpailijan kannattaa vaihtaa luukkua. Huomasin tämän lopullisesti kun hahmottelin asiaa paperille.
Mutta eikös tuossa tehtävässä sanottu, että juontaja avaa sen luukun, jonka takana ei ole palkintoa....?(: Se, tietääkö se mitä sen takana on vai eikö se tiedä, ei oikeastaan vaikuta tämän tapauksen kohdalla mitenkään, koska tehtävä tietää sanoa, että se avaa sen tyhjän.
Jos juontaja ei tiedä, niin hän avaa yhdessä kolmasosassa tapauksista luukun joka on tyhjä. Kun nämä tapaukset tilastoidaan, niin eikö muka silloin päädytä todennäköisyyteen 50% ja 50% kahden jäljelle jääneen luukun osalta?
Siis tietysti 2/3 tapauksista juontajan avaama luukku on tyhjä.
Jos juontaja tietää palkinnon sijainnin, niin hän tietysti avaa joka kerta tyhjän luukun ja tuo 1/3 mahdollisuus, että juontajan avaamassa luukussa on palkinto, putoaa tilastoista pois.
Alkää nyt uskoko selityksiin olemattomista todennäköisyyksistä.
Kyseessä on puhdas binomijakautuman todennäköisyys, jossa toteutuneen tapahtuman jälkeen variaatioden määrä muuttuu.
Siis jos kolmas laatikko poistetaan niin, että kukaan ei tiedä sisältääkö se palkinnon, niin todennäköisyys ei muutu, ainoastaan valinnanmahdollisuus pienenee.(=1/3)
Jos kolmas laatikko tiedetään tyhjäksi, niin aikaisemmalla todennäköisyydellä ei uudessa tilanteessa ole mitään merkitystä.
Uusi tilanne on se, että valittavana on vain kaksi laatikkoa, joista jommassakummassa on palkinto, ja väite että aikaisempi valinta olisi jotenkin muuttanut todennäköisyyttä jomman kumman hyväksi ei ole perusteltavissa, eli todennäköisyys osua oikeaan jommassa kummassa tapauksessa on täsmälleen sama, vaikka et olisi koskaan kuullutkaan kolmannesta laatikosta, tai edes tehnyt aikaisempaa valintaa.
"Jos kolmas laatikko tiedetään tyhjäksi, niin aikaisemmalla todennäköisyydellä ei uudessa tilanteessa ole mitään merkitystä."
Minun käsittääkseni todennäköisyydet tässä tehtävässä ovat 2/3 ja 1/3 silloin, kun juontaja tietää avata tyhjän luukun. Jos hän ei tiedä, niin todennäköisyydet ovat kahdelle jäljelle jääneelle luukulle yhtä suuret.
Kirjan vastaus on siis oikea, jos juontaja tietää missä palkinto on. Asia on helppo hahmotella paperille. Juontajahan ei nyt VOI avata luukkua, jossa palkinto olisi. Todennäköisyys siis todella on 2/3 sille jäljelle jääneelle luukulle, jota kilpailija ei aluksi valinnut.
Mutta jos juontaja ei tiedä palkinnon sijaintia, hän avaa 1/3 tapauksista sen luukun, jossa palkinto on. Silloin kun juontaja sattuu avaamaan tyhjän luukun ovat todennäköisyydet molempien jäljelle jääneiden luukkujen osalta yhtä suuret.
Uskoisin, että asia on näin. Kirjan vastaus on oikea. Minä vain en tajunnut, että juontaja tietää palkinnon sijainnin.
Tosin en ehkä silti olisi hoksannut sitä, jos en olisi hahmotellut sitä toissa päivänä paperille.
Mutta eiköhän asia nyt ole selvä. Jos haluaa varmistua asiasta, niin sitä voi sitten vaikka kysyä sähköpostilla joltain matematiikan professorilta.
No. jos lähdetään siitä että valitaan niistä kolmestä laatikosta yksi.
(silloinhan todennäköisyys on 1/3)riippumatta siitä tietääkö juontaja missä palkinto on.
sitten kysytään kannattaako vaihtaa jos juontaja avaa yhden tyhjän?
(eli jäljellä on 2 laatikkoa koska olet jo valinnut yhden, riippumatta siitä tietääkö juontaja palkinnon sijainnin jompikumpi laatikoista on tyhjä tahi kummatkin!)
juontaja on avannut tyhjan laatikon ja on valittava vaihtaako?
no...
silloin ei voi millään tietää että oliko palkinto jäljelle jäävässä vai jo valitsemassasi laatikossa...
jos juontaja saisi antaa vinkkiä olisi tilanne toinen...
eli on ihan sama vaihtaako vai ei!
Jos juontaja tietää, missä luukussa palkinto on, niin silloin hän tietysti avaa tyhjän luukun. Luepa nuo cubicin selitykset. Miljoonalla luukulla asia on helpompi ymmärtää.
Jos sinulla on miljoona luukkua, joista valitset yhden niin palkinto on jäljelle jääneissä todennäköisyydellä 999999/1000000. Kun juontaja TIETÄÄ, mitkä luukut ovat tyhjiä ja avaa ne, ei tilanne silti muutu. Todennäköisyys, että palkinto on aluksi valitsemassasi luukussa on häviävän pieni (yksi miljoonasta) ja todennäköisyys, että palkinto on toisessa jäjellä olevassa luukussa on 999999/1000000 eli kannattaa vaihtaa!!!!!!!!
Jos alussa ennen kuin juontaja on avannut muita luukkuja kysyttäisiin vaihdatko valitsemasi luukun KAIKKIIN 999999 muuhun luukkuun, niin varmaan vaihtaisit! Tilanne ei muutu, vaikka juontaja avaisi ne luukut, jotka hän tietää tyhjiksi.
:)
Tämä tunnetaan nimellä Monty Hall -ongelma. Se on peräisin eräästä Yhdysvaltojen televisiossa esitetystä kilpaohjelmasta, jossa lopussa jaetaan palkinto kuvatun lailla menetelmällä. Ohjelma taisi olla nimeltään "Let's Make a Deal" alkuperäisellä kielellä.
Ongelman voi ratkaista helposti kirjoittamalla kaikki vaihtoehdot ylös. Samalla tulevat ilmi isännän tietoja mahdollisesti koskevat piilo-oletukset.
Tarkoitan kaikilla vaihtoehdoilla nyt eri strategioita, minkä pelaaja voi valita. Jokaista mahdollista valintajärjestystä en halua käydä läpi. On siis kaksi strategiaa. Pelaaja voi vaihtaa, tai jättää vaihtamatta. Oletetaan, että ovien järjestyksellä ei ole väliä, ja pelaaja valitsee aina ensin oven 1. Palkinto olkoon satunnaisen oven takana, joten mahdollisuuksia tulee yhteensä kuusi. Kaksi strategiaa, kolme ovea.
Isäntä voi aina avata tyhjän oven riippumatta mitä pelaaja valitsee. Hänellä ei siis ole mielekästä valintaan tehtävänä. Huom! Jotkut kuvittelevat, että isäntä voi huijata valinnallaan. Selittäkööt he, miten se on mahdollista, jos siihen uskovat.
Olkoon V vaihto ja E "ei vaihtoa".
On kolme peliä, joissa valitaan V.
Merkitään ne V1, V2 ja V3. Näistä V1 häviää, koska palkinto on oven yksi takana, josta vaihdetaan pois. V2 ja V3 voittavat, koska isäntä avaa aina sen oven, jonka takana ei ol emitään, ja vaihto on siten selvä.
Toistetuissa V-strategian peleisssä siis pelaaja voittaa todennäköisyydellä 2/3.
On myös kolme peliä, joissa valitaan E.
Merkitään ne E1, E2 ja E3. Nyt vain E1 voittaa, muissa tapauksissa pelaaja jättää vaihtamatta voitto-oven kohdalle. Hän voittaa siis todennäköisyydellä 1/3.
Siis jos peliä toistetaan monta kertaa, voidaan olettaa, että strategialla V (vaihto!) voittaa enemmän pelejä kuin strategialla E.
Tässä ei oteta huomioon sitä, että isäntä voi arvailla miten pelaaja pelaa, ja yrittää tehdä voittostrategian vaikeammaksi. lisäksi yhden tilanteen analysointi todennäköisyydellä on ongelmallisempaa. Jos kyseessä ei ole ns. toistettava koe, miten voidaan tietää mitkä oletukset ovat päteviä?
Tässä on tiettyjä ongelmia aina. Toivottavasti selitykseni on selvä esittämieni oletusten puitteissa. pahoittelen kiireestä johtuvaa epäselvyyttä. Hakekaa webistä "Monty Hall problem" jos englanti on hallussa.. ja kaikillahan se nykyään on.
Totta helvetissä juontaja tietää missä luukussa palkinto on ja avaa aina semmoisen luukun jossa ei ole palkintoa.
Senjälkeen kilpailija puntaroi ja katsojat jännittävät. (Vaihto siis nostaa kilpailijan todennäköisyyden 2/3-osaan)
Koko kilpailuhan menisi läskiksi joka kolmas kerta kun juontaja pamauttaisi palkintoluukun summanmutikassa auki.