Pallo ja pallon neliulotteinen yleistys.

Ympyrän projektio yhteen ulottuvuuteen on jana, jonka pituus on sama kuin ympyrän halkaisija. Kolmiulotteiden pallon projektio kahteen ulottuvuuteen on ympyrä, jonka halkaisija on sama kuin pallon halkaisija. Saman logiikan mukaan neliulotteiden pallon projektio kolmeen ulottuvuuteen on pallo, jonka halkaisija on sma kuin neliulotteisen pallon halkaisija.

Katso wikipediasta: https://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere (eikö tuota tosiaan ole suomeksi??). Siellä on kaavat S_n(r) n-pallonkuoren mitalle ja V_n(r) n-pallon mitalle. Huomaa, että n-pallonkuori tarkoittaa n 1-ulotteisen pallon kuorta, jonka itsensä dimensio on n, esim S_1 on ympyrän kaari.

Olkoon r1 V_n:n säde ja r_2 S_n:n säde. Saadaan kaava

V_n(r1) = S_n(r2), josta ratkaistaan

r1/r2 = (2*sqrt(pi)*gamma(n/2 1) / gamma((n 1)/2))^(1/n)

Kun n=2, niin tästä tulee 2, eli r1 = 2r2, mikä oli huomiosi. Suuremmille n ei tule mitään niin kaunista. Syötä tämä Wolfram Alphaan ( https://www.wolframalpha.com )

(2*sqrt(pi)*gamma(n/2 1) / gamma((n 1)/2))^(1/n), where n=1,2,3,4,5,6

niin se laskee luvut:

{π, 2, ((3 π)/2)^(1/3), 2/3^(1/4), (15 π)^(1/5)/2^(3/5), 2^(5/6)/5^(1/6)}

Jos ajatellaan suorakulmaisia systeemyjä. Neliön suora projektio suoralle on jana, ja neliön piiri on nelinkertainen tuon janan pituuteen verrattuna. Kuution projektio tasolle on neliö. Kuution särmien lkm on kolminkertainen neliön piiriin verrattuna pinta-ala on kuusinkertainen neliöön verrattuna. Neliulotteisen hyperkuution pinta muodostuu kahdeksasta kuutiosta ja sen projektio on kolmiulotteinen kuutio. Sen "sivujen" tilavuus on siis kahdeksankertainen projektioonsa verrattuna, pinta-ala on nelinkertainen ja särmien määrä on 8/3-kertainen..

Se menisi näin:
x0^2 y0^2 a y1^2 z1^2
x0 ja y0 ovat muuttujia ja yhtä suuria
Samoin y1 ja z1
a määrittää toisen ympyrän sijainnin, vain toisen