Osoita, että A ∪ Bd(A) = Int(A) ∪ Bd(A). Koska A sisältää aina sisäpisteensä, toinen inkluusioista on triviaali. Inkluusion A ∪ Bd(A) ⊂ Int(A) ∪ Bd(A) olen todistanut seuraavasti:
olk. x ∈ A ∪ Bd(A). Tällöin x ∈ A tai x ∈ Bd(A). Mikäli x ei kuulu joukon A reunapisteisiin, se kuuluu välttämättä joukon A sisäpisteisiin. Siis x ∈ Int(A) tai x ∈ Bd(A). Tämä todistaisi, että A ∪ Bd(A) ⊂ Int(A) ∪ Bd(A).
Onko todistus riittävä?
inkluusion todistamisesta
Anonyymi
7
<50
Vastaukset
- Anonyymi
Entäpä jos x on A:n "isolated point" eli sillä on ympäristö jossa eiole muita A:n pisteitä kuin itse x. Se ei silloin ole A:n reunapiste. Näin ollen vaikka x ei ole A:n reunapiste se ei myöskään ole A:n sisäpiste.
Bd(A) = A:n sulkeuman ja X-A : n sulkeuman leikkaus (X on siis koko avaruus).
Int(A) ja Bd(A) ovat pistevieraita ja A:n sulkeuma on Int(A) U Bd(A)..Kuuluikos reunan määritelmään tuo, että "...muita kuin itse". Se taitaa olla kasautumispisteen määritelmä. Kyllä isoloidut pisteet ovat reunapisteitä.
- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Kuuluikos reunan määritelmään tuo, että "...muita kuin itse". Se taitaa olla kasautumispisteen määritelmä. Kyllä isoloidut pisteet ovat reunapisteitä.
Pitää paikkansa.
Olkoon A:n sulkeuma S(A), komplementti C(A) ja A:n ja B:n leikkaus A&B
Määritelmä: Bd(A) = S(A) & S(C(A)). Siis Bd(A) = S(A) - Int(A). Isoloitu piste kuuluu kyllä joukkoon S(A) mutta ei ole A:n sisäpiste joten se on kyllä reunapiste.
Isoloitu piste x on sellainen että sillä on ympäristö joka ei sisällä muita A:n pisteitä kuin itsensä eli pisteen x.Mutta sillloin sillä on siis ympäristö joka sisältää sekä C(A):n pisteitä että A:n pisteitä, nimittäin tuon pisteen x, ja x on siis reunapiste.Vähän "subtle" juttu tämä.
Ja aloittajan todistelu on oikea.
Tuo
"x ei ole reunapiste => x on sisäpiste"
kannattaa vielä perustella ihan määritelmistä lähtien. Aika selvä hommahan se on, mutta näin perustavaalaatua olevassa tuohan siinä on niinkuin juuri se pääasia.
Eli jos lähdetään tuota todistamaan ja oletetaan että A:n piste x ei ole reunapiste. (Huom. niin tässähän voidaan olettaa, että x ∈ A). Reunapisteys tarkoittaa, että jokainen x:n ympäristö (eli x:n sisältävä avoin joukko) leikkaa A:n komplementtia. Eli ei-reunapisteys tarkoittaa, että on olemassa jokin avoin joukko joka ei... tässähän ollaan jo melkein maalissa.- Anonyymi
Tattista kommenteista.
- Anonyymi
Esitän tässä yhden todistuksen kysytystä asiasta. Lukeneeko aloittaja enää tätä?
Käytän samoja merkintöjä kuin aiemmissa jutuissa. Lisaäksi jo täällä aiemmin esiintynyt merkintä A ( B (A on B:n osajoukko). Toivottavasti ei sotketa merkintään C(A) joka tarkoittaa A:n komplementtia X - A.
Ensiksi apulause.
Int(A) = U (A(a) l A(a) ( A, A(a) avoin)
C(Int(A)) = & (C(A(a)) l C(A) ( C(A(a)) , C(A(a)) suljettu) = S(C(A))
Int(A) = C(S(C(A)))
Tuossa käytettiin sitä että jos A ( B niin C(B) ( C(A) ja sitä että C(C(A)) = A
Tästä seuraa muuten helposti toinenkin hauska seikka. Kun pannaan A:n tilalle C(A) saadaan
Int(C(A)) = C(S(C(C(A)))) = C(S(A)) joten
S(A) = C(Int((C(A))))
Nuo siis pätevät kaikille joukoille A.
Määritelmä: Bd(A) = S(A) & S(C(A))
A U Bd(A) = A U ( S(A) & S(C(A)) =
(A U S(A)) & (A U S(C(A))) =
S(A) & X = S(A) sillä A ( S(A) ja C(A) ( S(C(A))
jatkan seuraavalla kommentilla ennenkuin tämä häipyy...- Anonyymi
No niin...
Int(A) U Bd(A) = Int(A) U (S(A) & S(C(A))) = (Int(A) U S(A)) & (Int(A) U S(C(A))) =
S(A) & ( Int(A) U S(C(A))) = S(A) & (C(S(C(A))) U S(C(A))) = S(A) & X = S(A).
Siis: S(A) = A U Bd(A) = Int(A) U Bd(A)
MOT
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
- 1886092
Minä itkin kotona kun tajusin että
Pelkuruuteni takia kun en lähestynyt vaikka järjestit otollisen hetken ja myöhemmin huomasin lasittuneen katseesi miten122352- 241739
- 791718
Oiskohan se aika
Selvittää pää vihdoin ja viimein. Minun kaivattu ei todellakaan käy täällä ja piste. Ei ole mitään järkeä enää tuhlata t81631Muistutus t-Naiselle.
Olet ilkeä ja narsistinen k-pää. Annat itsestäsi kiltin kuvan ulospäin kelataksesi ihmiset ansaan. Sitten päsmäröit, hau1531624Ylen jälkiviisaat estotonta Kamala Harris suitsutusta
Kolme samanmielistä naikkosta hehkutti Kamala Harrisia ja haukkui Trumpia estottomasti. Nyt oli tarkoituksella valittu3261622Oho! Varmistusta odotellaan.
Pitäneekö paikkansa? "🇺🇦Ukrainian drones hit a 🇷🇺Russian Tu-22M3 bomber at the Olenya airfield,"1371417Onko jotain sanottavaa vielä, nyt voi kertoa
Poistun kohta täältä ja unohdan ajatuksen naimisiin menosta. Mieheltä291399Kun Suomen uutisiin ei voi luottaa?
Kertoisitteko te uutismaailmasn perehtyneet ASIANTUNTIJAT nyt sitten sen, mihin voi?3361242