Osoita, että A ∪ Bd(A) = Int(A) ∪ Bd(A). Koska A sisältää aina sisäpisteensä, toinen inkluusioista on triviaali. Inkluusion A ∪ Bd(A) ⊂ Int(A) ∪ Bd(A) olen todistanut seuraavasti:
olk. x ∈ A ∪ Bd(A). Tällöin x ∈ A tai x ∈ Bd(A). Mikäli x ei kuulu joukon A reunapisteisiin, se kuuluu välttämättä joukon A sisäpisteisiin. Siis x ∈ Int(A) tai x ∈ Bd(A). Tämä todistaisi, että A ∪ Bd(A) ⊂ Int(A) ∪ Bd(A).
Onko todistus riittävä?
inkluusion todistamisesta
Anonyymi
7
78
Vastaukset
- Anonyymi
Entäpä jos x on A:n "isolated point" eli sillä on ympäristö jossa eiole muita A:n pisteitä kuin itse x. Se ei silloin ole A:n reunapiste. Näin ollen vaikka x ei ole A:n reunapiste se ei myöskään ole A:n sisäpiste.
Bd(A) = A:n sulkeuman ja X-A : n sulkeuman leikkaus (X on siis koko avaruus).
Int(A) ja Bd(A) ovat pistevieraita ja A:n sulkeuma on Int(A) U Bd(A)..Kuuluikos reunan määritelmään tuo, että "...muita kuin itse". Se taitaa olla kasautumispisteen määritelmä. Kyllä isoloidut pisteet ovat reunapisteitä.
- Anonyymi
minkkilaukku kirjoitti:
Kuuluikos reunan määritelmään tuo, että "...muita kuin itse". Se taitaa olla kasautumispisteen määritelmä. Kyllä isoloidut pisteet ovat reunapisteitä.
Pitää paikkansa.
Olkoon A:n sulkeuma S(A), komplementti C(A) ja A:n ja B:n leikkaus A&B
Määritelmä: Bd(A) = S(A) & S(C(A)). Siis Bd(A) = S(A) - Int(A). Isoloitu piste kuuluu kyllä joukkoon S(A) mutta ei ole A:n sisäpiste joten se on kyllä reunapiste.
Isoloitu piste x on sellainen että sillä on ympäristö joka ei sisällä muita A:n pisteitä kuin itsensä eli pisteen x.Mutta sillloin sillä on siis ympäristö joka sisältää sekä C(A):n pisteitä että A:n pisteitä, nimittäin tuon pisteen x, ja x on siis reunapiste.Vähän "subtle" juttu tämä.
Ja aloittajan todistelu on oikea.
Tuo
"x ei ole reunapiste => x on sisäpiste"
kannattaa vielä perustella ihan määritelmistä lähtien. Aika selvä hommahan se on, mutta näin perustavaalaatua olevassa tuohan siinä on niinkuin juuri se pääasia.
Eli jos lähdetään tuota todistamaan ja oletetaan että A:n piste x ei ole reunapiste. (Huom. niin tässähän voidaan olettaa, että x ∈ A). Reunapisteys tarkoittaa, että jokainen x:n ympäristö (eli x:n sisältävä avoin joukko) leikkaa A:n komplementtia. Eli ei-reunapisteys tarkoittaa, että on olemassa jokin avoin joukko joka ei... tässähän ollaan jo melkein maalissa.- Anonyymi
Tattista kommenteista.
- Anonyymi
Esitän tässä yhden todistuksen kysytystä asiasta. Lukeneeko aloittaja enää tätä?
Käytän samoja merkintöjä kuin aiemmissa jutuissa. Lisaäksi jo täällä aiemmin esiintynyt merkintä A ( B (A on B:n osajoukko). Toivottavasti ei sotketa merkintään C(A) joka tarkoittaa A:n komplementtia X - A.
Ensiksi apulause.
Int(A) = U (A(a) l A(a) ( A, A(a) avoin)
C(Int(A)) = & (C(A(a)) l C(A) ( C(A(a)) , C(A(a)) suljettu) = S(C(A))
Int(A) = C(S(C(A)))
Tuossa käytettiin sitä että jos A ( B niin C(B) ( C(A) ja sitä että C(C(A)) = A
Tästä seuraa muuten helposti toinenkin hauska seikka. Kun pannaan A:n tilalle C(A) saadaan
Int(C(A)) = C(S(C(C(A)))) = C(S(A)) joten
S(A) = C(Int((C(A))))
Nuo siis pätevät kaikille joukoille A.
Määritelmä: Bd(A) = S(A) & S(C(A))
A U Bd(A) = A U ( S(A) & S(C(A)) =
(A U S(A)) & (A U S(C(A))) =
S(A) & X = S(A) sillä A ( S(A) ja C(A) ( S(C(A))
jatkan seuraavalla kommentilla ennenkuin tämä häipyy...- Anonyymi
No niin...
Int(A) U Bd(A) = Int(A) U (S(A) & S(C(A))) = (Int(A) U S(A)) & (Int(A) U S(C(A))) =
S(A) & ( Int(A) U S(C(A))) = S(A) & (C(S(C(A))) U S(C(A))) = S(A) & X = S(A).
Siis: S(A) = A U Bd(A) = Int(A) U Bd(A)
MOT
Ketjusta on poistettu 0 sääntöjenvastaista viestiä.
Luetuimmat keskustelut
Suomen kansa haluaa Antti Lindtmanista pääministerin
Lindtman on miltei tuplasti suositumpi kuin etunimikaimansa Kaikkonen. Näin kertoo porvarimedian teettämä kysely. http2944791Vain 21% kannattaa Lindtmania pääministeriksi
se on selvästi vähemmän kuin puolueen kannatus, mites nyt noin?1353076Miksei Björn Wahlroos jaa rahaa köyhille?
Esimerkiksi Nordean tiloissa? Vai tuovatko ne köyhät hiekkaa marmorilattioille ja siksi ei pysty mursunviiksi pystyyn k522983Jouluksi miettimistä: kuka tai mikä valmistaa rahan?
Nyt kun on ollut vääntöä rahasta ja eritoten sen vähyydestä, niin olisi syytä uida rahan alkulähteille, eli mistä se syn281551Julkinen sektori on elänyt aivan liian leveästi yli varojensa!
Viimeisen 15 vuoden aikana julkisen puolen palkat ovat nousseet n. 40%, kun taas yksitysellä sektorilla vain n. 20%. En2271242- 471199
Yksikään persu ei ole saanut Nobelin palkintoa
Kertoo paljon persujen älyn puutteesta. Demareista mm. Ahtisaari on kyseisen palkinnon saanut.71016Miten antaa merkki hyvin eri ikäiselle miehelle, että kertoisi toiveensa ja ajatuksensa?
Olen pitkään pitänyt miehestä, joka myös varmasti minusta. Hän ei tosin kerro ihastumisesta, eli voi hyvin olla, että tu78991Paskalaista valokuitulakiin
Nyt maksajiksi joutuvat kaupunkilaiset eivätkä mökkiensä ulkohuusseissa kakistelevat mummot. Nimittäin EU määrää jokais52989Emme koskaan keskustelleet kasvotusten syistä välirikollemme
Enkä voisi kertoa perimmäistä rehellistä syytä. Kerroin sinulle pintapuolisen ”paketin” ja otin tavallaan omalle vastuu58981